Д. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ...

При численном решении задач физики плазмы дифференциальное уравнение часто преобразуют в конечно-разностное, определенное на пространственной (или временной) сетке. Для осуществления такого преобразования нужно выбрать подходящие разностные операторы, причем необходимо знать привносимые или локальные и нелокальные эффекты. Например, первая производная функции узле сетки определяется следующим образом:

где шляпка обозначает оператор, а индекс -локальность.

Разностные операторы являются линейными. Такой оператор, следовательно, можно записать в виде

где определенные коэффициенты, и для системы длиной узлы сетки занумерованы от 1 до Набор коэффициентов является представлением оператора К в конфигурационном пространстве.

Возвращаясь к примеру видим, что представление в конфигурационном пространстве оператора первой производной имеет вид

Оператор первой производной является примером локального оператора, т. е. производная функции в узле сетки зависит только от значений функции в ближайших узлах.

При работе в конфигурационном пространстве выражать производные как локальные операторы следует по двум важным причинам. В непрерывном пространстве производная функции определяется локально.. При моделировании непрерывной системы дискретной хотелось бы сохранить локальный характер производной. Особенно это желательно вблизи границ или отмеченных внутренних неоднородностей. Кроме того, решать систему конечно-разностных уравнений, которые содержат только локальные разностные операторы, проще.

Мощным методом решения линейных конечно-разностных уравнений является преобразование Фурье. При помощи -ремы о свертке можно показать, что линейный оператор К в преобразуется в

где комплексная амплитуда Фурье, а -представление оператора в -пространстве. Функция связана с представлением того же оператора в конфигурационном пространстве:

Величина 4 принимает целые значения, соответствующее волновое число равно Из следует, что представление любого линейного оператора К в -пространстве является периодической функцией 4 с периодом

Используем уравнение для получения представления в -пространстве оператора первой производной Имеем

где дифракционная функция определена как

Если уж мы, собрались решать систему конечно-разностных уравнений в -пространстве, то локальные операторы не имеют при вычислении больше никаких преимуществ перед нелокальными.

Часто предлагается использовать «точное» выражение

в качестве представления первой производной в -пространстве. Аналогично «точную» вторую производную следовало бы представить в виде

Строго говоря, эти выражения нельзя считать представлениями операторов производных первого и второго порядков — они не являются периодическими функциями 4. Трудностей можно избежать, если предположить, что -представления первой и второй производных определяются выражениями и в первой зоне Бриллюэна (т. е. при — Для других значений 4 представления этих операторов определяются по периодичности.

Эти представления первой и второй производных широко используются [Matsuda, Okuda, 1975; Buneman, 1976]. Часто утверждается, что при работе с этими «точными» операторами не возникает никаких вычислительных погрешностей, тогда как локальные операторы типа погрешности содержат. Это неправильное заключение следует из слишком упрощенного подхода к анализу погрешностей. При моделировании методом частиц корректный анализ точности разностных операторов сильно усложнен тем, что плотности заряда и тока определены между узлами сетки (при помощи фазовых переменных частиц). Это приводит к рассмотренным в гл. 8 наложениям. В любом случае ясно, что при представлении непрерывной функции (например, плотности заряда или электростатического потенциала) ее значениями на дискретной сетке теряется множество информации. Если используются «точные» разностные операторы, эта потеря информации приводит к сильно нелокальным представлениям первой и второй производных.

Хотя вычислительных преимуществ при работе в -пространстве у локальных операторов перед нелокальными нет, физика, которая моделируется конечно-разностными уравнениями,

часто определяется локальными явлениями. Полезно поэтому знать конфигурационные представления разностных операторов. Из и свойства ортогональности дискретного преобразования Фурье следует, что конфигурационное представление линейного оператора связано с представлением в -пространстве соотношением

Следовательно, конфигурационные представления «точных» операторов производных равны

Важно осознавать, что эти «точные» производные являются очень нелокальными операторами. Из и видно, что производная функции в узле сетки зависит от значения функции в любом другом узле системы.

Полезно записать «точные» производные в конфигурационном пространстве. После перегруппировки членов получаем

где весовая функция

Соотношение указывает, что «точную» производную можно интерпретировать как взвешенное среднее всевозможных центральных разностей. Весовая функция, при помощи которой производится усреднение, спадает очень медленно с увеличением интервала, из которого берутся эти разности. Так, для определения значения «точной» производной центральная разность на половине длины системы почти так же важна, как локальная разность .

Похожие рассуждения показывают, что «точную» вторую производную можно записать в конфигурационном пространстве в виде

Рис. Д.1. Абсолютные значения использованных в и функций веса. Величина медленно спадает с увеличением разностного интервала, тогда как увеличивается, демонстрируя тем самым нелокальную природу «точных» разностных операторов

где весовая функция

Весовые функции изображены на рис.

вычисляется из при помощи соотношения

где для получения нужных результатов можно свободно выбирать в первой зоне Бриллюэна. Однако на самом деле функция выбирается так, чтобы она давала представление Фурье трехточечной конечной разности для т. е.

Если эту функцию преобразовать при помощи то, разумеется, получится левая часть — локальная вторая производная с относительной погрешностью

Урок, который из всего этого можно извлечь, заключается в том, что не существует идеального выбора конечно-разностного оператора. Всегда приходится идти на компромисс и выбирать разностный оператор в соответствии с изучаемой проблемой. В приближенно однородных системах нелокальный характер «точных» производных, возможно, и не приводит к осложнениям, и эти выражения для производных можно применять. Если изучаемая система неоднородна, то важно сохранить локальный характер производных. Поэтому в неоднородных системах лучше взять локальный разностный оператор типа

Это обсуждение не ставит своей целью определить выбор того или иного алгоритма для V или или для взвешивания частиц — истинная проверка заключается в воспроизводстве правильных физических эффектов, например в получении правильной силы или нужной дисперсии, которая зависит от комбинации всех факторов. В лучшем случае методы крупных

частиц дают правильную силу только на больших расстояниях, а колебания и волны - на больших длинах волн. Работа создателя программы заключается в воспроизводстве этих эффектов при минимальных затратах машинной памяти и времени. Нам представляется, что среди различных возможностей [сокращенные дипольные коды с сильным сглаживанием при коды Фурье с нелокальными производными), использующие взвешивание частиц высокого порядка (типа квадратичных сплайнов); коды с линейным взвешиванием (CIC, PIC), использующие или локальные производные, или их Фурье-представления и сглаживание при больших для получения хорошей точности, высокой скорости и максимального использования имеющихся узлов сетки в общем предпочтительнее последняя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)