11.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ ЧАСТИЧНЫХ И СЕТОЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Для того чтобы подготовить вывод дисперсионного соотношения и сравнить мультипольные и другие алгоритмы, в § 11.5 выясняется связь между Фурье-образами плотности частиц 
и поля сил 
сеточными величинами 
Мы облегчим себе задачу, позаимствовав некоторые результаты из гл. 8 и приведя соотношения к принятой там форме.
В § 11.2 предполагалось (хотя особо и не оговаривалось), что 4 принадлежит первой зоне Бриллюэна, т. е. 
Этого достаточно для преобразования сеточных величин, но при этом нужно знать 
при всех А. Так же, как и в гл. 8, удобно использовать тот факт, что образы сеточных величин периодичны с периодом 
т. е. 
Во избежание недоразумений введем периодическую функцию
Результаты, полученные в § 11.2 при подстановке к вместо 
становятся пригодными для всех
Для того чтобы отделить ближайшие к 
узлу частицы, перепишем сначала мультипольную плотность (11.9) при помощи весовой функции 
(см. рис. 8.2):
Заметим, что так же, как и в уравнении (8.22), Фурье-образ 
в соответствии с (8.53) равен
где 
Сравнивая эти формулы, получаем
Подстановка в (11.26) приводит к искомому соотношению, записанному в похожем на (8.53) виде:
где
— образ эффективной весовой функции. [Отсутствующий в (8.53) множитель 
в гл. 8 включен в 
а здесь этот множитель, описывающий пространственное сглаживание, учтен при получении 
Возвращаясь к силе, перепишем (11.4) и для выделения нужных членов в сумме по 
используем 
Член 
для каждого 
совпадает с (8.23), Фурье-образ которого (8.46)
Сравнивая, мы получаем, что образ силового поля мультиполя равен
Если учесть, что 
то
где мы снова встречаемся с эффективной весовой функцией (11.34). Результат имеет тот же вид, что и (8.46) с учетом (8.41) и пространственного сглаживания 
где х определяется выражением (11.25).
Следовательно, верны также и другие результаты гл. 8, такие как сохранение импульса (см. задачу 11.13). Если бы мы могли удержать все моменты, то (см. задачу 11.13)
в противоположном случае (т. е. 
кратно 
Итак, мы снова приходим к интерполяции (11.1) и (11.2), ограниченной на зону, которая не дает ошибок наложения.
Для того чтобы проследить связь с другим представлением, использовавшимся в работе [Chen, Okuda, 1975], перепишем (11.34) в виде [см. задачу (11.14)]
где
Для 
совпадает с функцией 
использованной в работе [Chen, Okuda, 1975]. В дипольном приближении остается вклад только 
Используя результаты задачи 11.5 и применяя сокращенную дипольную схему (SDPE) из § 11.3, получаем 
что уже было получено в задаче 11.6.
Существуют три источника погрешностей, возникающих при вычислении силы: погрешности величины и направления 
и связь разных длин волн из-за эффекта наложения частот. При векторе 
, лежащем в первой зоне Бриллюэна, погрешностей направления нет, если 
(или 
) получается преобразованием Фурье (11.29), а погрешности величины, получающиеся из-за отличия 
от единицы, можно скомпенсировать, подогнав 
Погрешности наложения, за которые отвечают члены с 
определяются при заданном А величиной 
и их нельзя поправить или уменьшить без потери пространственного разрешения.
Построенные нами выражения (11.33) и (11.38) аналогичны (8.49) и (8.46). Можно сделать конгруэнтными 
и настоящий параграф, если переместить множители 
из (11.33) и (11.38) в выражение (11.27), которое примет вид 
Результат совпадает с (8.37) с 
таким образом, этот метод можно эффективно применять.
В дальнейшем полученные результаты применяются к построению дисперсионного соотношения и к анализу точности вычисления силы в мультипольном приближении. В ограничении точности главную роль играет весовая функция частицы на сетке.
Задачи
(см. скан)
