10.8. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ
В этом параграфе покажем, что малосигнальные колебания холодной плазмы без дрейфовой скорости имеют правильную частоту и пространственные свойства при использовании алгоритма с лагранжианом. Это будет сделано как с применением преобразования Фурье, так и без него.
Линейный отклик холодной плазмы выражается следующим образом:
Умножим это выражение на 
подставим значение 
из (10.34), заменим к на 
и просуммируем по 
учитывая
периодичность сумм в равенстве (10.34), затем сократим суммы 
В итоге имеем
вне зависимости от к, т. е. получен правильный результат без всякой ошибки, связанной с конечностью 
Хотя этот вывод весьма краток [с учетом того, что (10.34) уже выведено], поучительно повторить вывод с самого начала без использования преобразования Фурье. Прояснится значение линеаризации и жидкостного предела, а также природа колебаний. Для краткости рассмотрим одномерный случай, так как обобщение выполняется тривиально.
Предположим, что невозмущенные положения частиц размещены равномерно и в каждой ячейке находится целое число частиц. Их заряд нейтрализован неподвижным фоном. После возмущения положения частиц на величину 
получаем
Соотношение (10.39) представляет разложение в ряд Тэйлора выражения (10.8) с сохранением линейных членов. Продифференцируем 
дважды по времени. Ускорение 
определяется формулой (10.12), в которую подставлены значения 
это еще одна линеаризация. Преобразуя сумму, получаем
Предполагая, что число частиц в ячейке 
велико, сумму по частицам заменим на интеграл. Тогда, сравнивая с выражением (10.30), находим
Каждая величина 
колеблется с плазменной частотой независимо от других величин, или 
могут колебаться независимо. Колебания же частиц в одной ячейке не являются независимыми.
Если кинетическую энергию вычисляют, как в коде ESI (см. § 3.11), с помощью модели линейного взвешивания, размещая частицы таким образом, чтобы точки сетки находились между ними, и сохраняя амплитуды колебаний достаточно малыми, чтобы частицы не пересекали точки сетки, то полная
энергия сохраняется в пределах погрешности округления (см. задачу 4.21). Однако это очень частный специальный случай!
Приведенный вывод становится несправедлив, если частицы участвуют в каком-либо дрейфовом движении. В этом случае следует использовать дисперсионное уравнение (10.43). Некоторые особенности этого случая обсуждаются в § 10.9 и в работе [Langdon, 1970 b].
