В. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ОДНОМ И ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ

При моделировании фильтрация сеточных величин обычно используется для того, чтобы:

1) на больших длинах волн улучшить согласие с теорией [дисперсию что называется компенсацией или поднятием;

2) на малых длинах волн , где конечно-разностные алгоритмы для имеют наименьшую точность и сильны эффекты наложения, улучшить точность и уменьшить шумы — это называется ослаблением или сглаживанием.

В кодах, использующих преобразование Фурье сеточных величин, фильтрация осуществляется непосредственно в -пространстве. Если преобразование Фурье сеточных величин неприменимо, то фильтрацию приходится делать в х-пространстве, и в этом случае она называется цифровой фильтрацией (рекурсивные цифровые фильтры описаны в работах [Hamming,

Рис. В.1. Сглаживающая функция для различных Двух и трехточечные (2) средние (а также любые средние при приводят к что нежелательно. Кривая 3 соответствует биномиальному фильтру. Применение сначала затем дает изображенную скомпенсированную кривую (4)

Рис. В.2. Связь между для одно- и двухпроходного цифрового сглаживающего фильтра

1977 и Collatz, 1966]). Это приложение представляет собой введение в технику цифровой фильтрации, применимую к скалярным сеточным величинам в одном и двух измерениях. Для того чтобы сделать более понятным влияние фильтрации, в предположении периодичности системы выводятся представления Фурье предложенных фильтров.

Пусть фильтруемая величина определена на узлах сетки и периодична. Простая фильтрация осуществляется заменой

(Предостережение: величины в правой части всегда задаются на исходных узлах.) Для обеспечения сохранения импульса необходима симметрия.

Фурье-представление фильтра можно получить, связывая величины

Следовательно, подставляя фильтрованное значение из в вместо получаем

и имеем (полагая

Нужный результат получается после учета периодичности, которая позволяет отсчитывать номера узлов сетки откуда угодно:

Сглаживающая функция изображена на рис. Рассмотрим различные значения При 0,5 функция меняет знак в первой зоне что неприемлемо; следовательно, фильтры, представляющие собой одинаково взвешенные двух- и трехточечные средние рекомендовать нельзя. Если 0,5, то функция всегда положительна и при квадратично обращается в нуль. Применение процедуры раз дает фильтр который при помощи биноминальных коэффициентов можно записать как однопроходный:

Фильтр с поэтому называется биномиальным. Заметим, что при биномиальное сглаживание приближается к гауссовому. Использование дает т.е. компенсирующий фильтр. При компенсация просто уничтожает ослабления при т. е. применение сначала а затем дает при малых Применение двух этих фильтров эквивалентно одному пятиточечному фильтру с весами .

Для использования необходимо удерживать несколько неотфильтрованных значений что в не создает никаких проблем с памятью. Тем не менее в могут возникнуть сложности с запоминанием старых значений поскольку сглаживающая матрица увеличивается от 3 точек в до 9 точек в Кроме того, может оказаться, что сглаживание проще запрограммировать при помощи нескольких проходов по каждой строке сетки. Хорошо бы в этой связи поискать факторизующийся алгоритм. Сначала прогонка

вперед, заменяющая все на затем прогонка назад с заменой всех на Дополнительная память при этом не нужна. Представление Фурье этого циклического процесса имеет вид

Это совпадает с однопроходным фильтром с

Условие действительности дает (рис. В. 2), т. е. факторизация допустима при Биноминальная форма сглаживателя соответствует при прогонке вперед и с при обратной прогонке. После сглаживания применяется компенсатор с или

Двухмерная цифровая фильтрация в общем выполняется так же, как и в но для того чтобы фильтрация была изотропной и эффективной с точки зрения памяти и скорости, требует большей аккуратности. Мы ограничимся рассмотрением фильтра на сетке использующего восемь соседних точек.

Фильтрация заключается в замене где на взвешенную по соседним точкам величину вида

где

- веса в центре, на сторонах и углах в соответствии с пространственным шаблоном

Фурье-представление фильтра имеет вид

где Член в квадратных скобках является сглаживающим множителем.

Различные фильтры обозначаются величинами Применение полого восьмиточечного фильтра [Hockney, 1971; Hockney, Eastwood, 1981] может дать разумный способ пространственного усреднения, однако его Фурье-представление становится отрицательным примерно посреди первой зоны Это может привести к нефизическим эффектам и в том числе к серьезным неустойчивостям, см. задачу 4.11 и работу [Langdon, Birdsall, 1970].

Применение сначала биномиального по х, а затем биномиального по у шаблонов

определяет биномиальный девятиточечный фильтр, Фурье-представление которого почти изотропно и демонстрирует отличное сглаживание. Шаблон имеет вид

Каждый шаг цикличен, поэтому Фурье-представление является произведением функций и т. е. В ZOHAR эта фильтрация осуществляется за четыре прохода

— соответственно вперед, назад, вверх и вниз, что без привлечения дополнительной памяти дает тот же результат. Подходящими компенсаторами являются (20, —1, —1) или (36, —6,1)