13.3. ТЕРМАЛИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНОЙ ПЛАЗМЫ

Движущийся через плазму лист, как мы увидели, из-за трения в среднем замедляется. В то же время он ускоряется присутствующими в плазме случайными полями. Возникающее из-за этих случайных ускорений изменение скорости проявляется как диффузия или расплывание групп частиц по скоростям. Замедление и случайное ускорение конкурируют друг с другом. В конце концов они создают устойчивое распределение Максвелла. Только для этого распределения диффузия или расплывание в сторону больших скоростей в точности компенсирует замедление частиц.

Рассмотрим сначала эволюцию функций распределения под влиянием трения и диффузии - этот процесс описывается кинетическим уравнением, причем (в одномерном случае) система не релаксирует к тепловому равновесию, в котором все сорта частиц распределены по Максвеллу с одной и той же температурой. Затем мы опишем гораздо более медленное приближение к тепловому равновесию. Наконец, обсудим вкратце дополнительные особенности, связанные с конечностью

Быстрая эволюция. Кинетическое уравнение (12.50) можно упростить, если ограничиться одномерным случаем и пренебречь В дальнейшем нам понадобится его обобщение на случай нескольких сортов частиц. Для частиц сорта а имеем

где

и величина содержит вклад всех сортов частиц (см. задачу 13.7).

Для плазмы, состоящей из частиц одного сорта, уравнение (13.216) (полученное в первом порядке по малому параметру предсказывает, что диффузия по скоростям уравновешивает трение и, следовательно, в этом случае нет эволюции к распределению Максвелла. Этому можно дать простое физическое объяснение. Пусть в одном измерении две частицы, взаимодействующие посредством короткодействующей силы, перед соударением имеют скорости а после соударения — Для отдельного соударения сохраняются две величины: энергия и импульс Существуют только две возможности для при которых эти величины сохраняются: во-первых, скорости не изменяются: во-вторых, происходит обмен скоростями: В обоих случаях число частиц с определенной скоростью не изменяется. Можно ожидать, что, поскольку, вследствие дальнодействующего характера сил в плазме взаимодействует одновременно много частиц, этот простой двухчастичный аргумент неприменим. Тем не менее теория (существующая) предполагает, что все взаимодействия слабы и даже, если одновременно происходит много столкновений, друг, на друга они не влияют и их вклад аддитивен. Таким образом, теория предсказывает, что функция распределения не изменяется.

Этот аргумент применим к плазме, состоящей из частиц одного сорта. Из уравнения (13.216) следует и более общий результат (см. задачу 13.8):

Данное ограничение препятствует установлению равновесия между частицами отдельных сортов.

Для лучшего понимания эволюции скоростей частиц в однокомпонентной плазме пометим некоторые частицы

индексом а, а остальные — индексом В качестве частиц а можно выбрать частицы с начальными скоростями из некоторого малого интервала или, например, с отрицательными скоростями. Уравнение (13.216) описывает эволюцию их скоростей. В то же время частицы движутся так, что величина остается постоянной.

Медленная эволюция. В действительности же одновременные соударения влияют друг на друга и функция распределения немного изменяется. Скорость релаксации к распределению Максвелла была измерена Доусоном [Dawson, 1964]. Исследовалось изменение во времени функции распределения по скоростям, которая в начальный момент имела вид (рис. 13.6) ступеньки. После быстрого (примерно за изменения, сглаживающего углы распределения, функция распределения эволюционирует очень медленно.

Доусон получал распределение, подсчитывая число частиц в небольших интервалах скоростей размером и приписывая это число центру интервала. (Можно действовать более аккуратно и использовать, скажем, линейную интерполяцию.) В эксперименте распределение 1000 листов усреднялось по короткому интервалу времени — за один плазменный период делалось примерно шесть выборок; это усреднение убирало быстрые флуктуации (они обсуждаются ниже), и функция оказывалась относительно гладкой.

На рис. 13.6 изображена функция при в моменты времени после начала эксперимента. К этим моментам времени (за исключением первого), как отмечалось выше, группа пробных частиц в распределении Максвелла должна разойтись по всему распределению. Как легко видеть, с ростом функция стремится сохранить свою начальную форму, даже если времена выборки пропорциональны Следовательно, время релаксации для немаксвелловского распределения не пропорционально и растет быстрее, чем На самом деле отличие от начального распределения возникает в основном за время и связано с установлением корреляций между частицами. После этого перехода меняется незначительно.

Целиком процесс релаксации показан на рис. 13.7. На первом графике изображена функция примерно в момент что соответствует сделанной выше оценке времени релаксации, а на последнем очень близка к распределению Максвелла.

Доусон [Dawson, 1964] измерил время релаксации следующим Образом. Величина на рис. 13.7 стремится к своему конечному значению так, как при показано на рис. 13.8 (как отмечалось выше, каждая точка является результатом усреднения). Прямая линия через точки проведена по методу

Рис. 13.6. Распределение по скоростям 1000 листов для различных значений в момент времени Эти интервалы времени равны примерно исключением -удвоенное время, необходимое для того, чтобы пробные частицы достигли равновесия с распределением Максвелла. В данном случае этот масштаб времени не применим

наименьших квадратов. Момент времени, при котором достигает значения , соответствующего распределению Максвелла, выбирается в качестве времени релаксации Время релаксации как функция изображено на рис. 13.9 и очень хорошо соответствует зависимости

Интерпретация Доусона заключается в том, что релаксация обусловлена одновременным взаимодействием трех частиц, поскольку если бы существовал вклад двухчастичных взаимодействий во время релаксации, то он был бы пропорционален

Доусон также наблюдал быстрые случайные флуктуации на фоне медленно дрейфующего к максвелловскому среднего распределения. При когда релаксация пренебрежимо мала, измерялись флуктуации числа частиц со скоростями из небольшой области вблизи нуля. Быстрые флуктуации обусловлены постоянным обменом энергией между электрическим полем и частицами и приводят к очень незначительному систематическому изменению. На рис. 13.10 нанесено число попаданий величины в ячейки длиной 5 в интервале от 145 до 215; показаное там же распределение Гаусса, типичное для

Рис. 13.7. Распределение по скоростям при Темными точками показано распределение Максвелла

полностью случайных флуктуаций вблизи среднего значения, хорошо описывает результат. Все это указывает на то, что медленная релаксация распределения обусловлена очень точным балансом и тем самым вычисления позволяют осуществить важную проверку кинетической теории плазмы.

ДЛя оценки термализации в работе [Montgomery, Nielson, 1970] использовалась -функция Больцмана. Обнаружено, что в одномерном случае время релаксации пропорционально N, а в двухмерном - N.

В работе [Virtamo, Tuomisto, 1979] показано, что оператор

описывает наблюдающуюся релаксацию, тем самым возникает еще один способ определения и измерения времени релаксации При моделировании использовался код, похожий на ESI с параметрами В предположении, что измерения дают Наконец, для начального ступенчатого распределения и из (13.25) метод измерения Доусона дает что находится в хорошем согласии с отношением

Рис. 13.8. Зависимость при от времени. Прямая линия проведена по методу наименьших квадратов. Для этого значения время релаксации оказалось равным этом достигает значения, соответствующего распределению Максвелла]

Рис. 13.9. Зависимость времени релаксации от

Влияние пространственных и временных наложений. При учете влияния пространственных и временных разностей, как мы обнаружили в § 12.6, никакое распределение, максвелловское в том числе, не остается стационарным. Тем самым можно ожидать, что при больших в одномерном случае время эволюции по порядку величины будет равно а при малых время эволюции будет порядка

В двухмерном случае обнаружено [Montgomery, Nielson, 1970], что если величина становится меньше единицы, то термализация замедляется — возможно, это связано с обрезанием на длинах волн порядка Но в одномерном случае при термализация ускоряется, и это наблюдение согласуется с увеличением наложения и предсказанием того, что в одномерном случае временной масштаб связан только с наложениями.

Задачи

(см. скан)