9.6. ДИСПЕРСИЯ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЫ И НЕФИЗИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

При наложении магнитного поля появляются новые коллективные моды. В случае распространения поперек магнитного поля при длинах волн порядка ларморовско! о радиуса

существуют волны вблизи гармоник циклотронной частоты. Величины могут быть малыми, но частота циклотронной гармоники может быть сравнима с Покажем, как это приводит к нефизической неустойчивости циклотронной гармоники, включающей в свой простейшей форме взаимодействие между при

Вывод диэлектрической проницаемости. Перейдем к описанию коллективного поведения частиц замагниченной плазмы, заменив их уравнения движения на разностные. Как и в § 9.2 для незамагниченного случая, пренебрежем влиянием пространственной сетки, используемой для описания полей, и сосредоточимся на интегрировании по времени. Рассмотрим малые возмущения однородной плазмы в однородном магнитном поле, параллельном оси

Внешнее магнитное поле может быть включено в уравнения движения частиц таким образом, что невозмущенные траектории в постоянном поле будут правильными спиралями плюс -дрейф с гирочастотой Мы будем использовать алгоритм Хокни, как в задаче 4.4 с полем В, параллельным оси Тогда для поперечного радиуса-вектора имеем

где

Разностное уравнение для будет таким же, как в § 9.2 для незамагниченной плазмы.

Полагая для невозмущенных траекторий, получим

откуда видно, что частицы располагаются на спирали постоянного радиуса определяемого величиной и поворачиваются вокруг оси с координатами на угол за один шаг по времени. Существование постоянных движения важно в приложениях и в последующем рассмотрении. Кроме того, выбор других разностных уравнений изменит наши результаты несущественным образом (см. задачу 9.15).

Рассмотрим распространение волны в плоскости Поле вдоль невозмущенной траектории имеет вид

Здесь а также использовано разложение в ряд Поле подставляется в уравнение (9.41) для возмущенных величин. Вклад каждого члена суммы по циклотронным гармоникам можно получить отдельно с помощью подстановки где В результате имеем соотношение

Решим уравнение (9.48), полагая при и запишем сумму по гармоникам, используя соотношение (9.47). При граничных условиях при и для получения полного решения (см. задачу 9.11) не требуется добавлять решение однородного уравнения:

Итак, мы получили значения отклонений от невозмущенной траектории в момент времени в зависимости от невозмущенных параметров. Предположим, что невозмущенные частицы распределены с однородной плотностью однородно по углу и имеют распределение по скоростям Для обратимых во времени разностных схем, используемых в книге, такое распределение частиц при отсутствии возмущающих полей остается постоянным. Подставляя вместо величину х в (9.49), получаем связь возмущений электрического поля, потенциала и траекторий в виде

Исключая и выполняя интегрирование по находим дисперсионное уравнение

Этот результат можно преобразовать к виду, аналогичному дисперсионному уравнению работы [Harris, 1959] (задача 9.12):

В пределе получаем очевидным образом результаты работы [Harris, 1959]. Для максвелловского распределения интеграл можно вычислить до конца аналитически (см. задачу 9.13).

Если находится вблизи гармоник , при любом в (9.52) имеет место резонанс в пределах ). При создании разностной схемы использованы условия, обеспечивающие точное описание влияния сил на частицы при частотах, малых по сравнению с [Hockney, 1966; Buneman, 1969; Hockney and Eastwood, 1981] (см. задачу 4.4).

В горячей плазме с конечным даже низкочастотные поля чувствуются частицами как имеющие частотные компоненты вблизи Поэтому очень удивительно, что поведение в вблизи гармоники описывается довольно точно, даже если не мало. Причина заключается в тех же приемах, которые Хокни и Бунеман использовали для достижения точности при низких частотах и которые также обеспечивают точное описание продольного движения вблизи резонансов при (см. задачи 9.14 и 9.15).

Свойства дисперсионного уравнения. Исследуем детально простой случай перпендикулярного распространения, когда интеграл по вычисляется тривиально.

Сначала заметим, что в этом случае частоты при действительных к также действительны и образуют комплексно сопряженные пары. При действительных со величина в также действительна и является аналитической функцией, следовательно, если

Полезно переити от переменной к (см. задачу 9.16):

где Эта запись очень удобна для вычисления корней, так как является алгебраической по в дополнение к преимуществам, найденным при анализе случая незамагниченной плазмы (см. § 9.2), таким как прояснение природы наложения частот.

Для упорядочения корней рассмотрим три случая: 1) целое число; 2) нецелое рациональное число и 3) иррациональное число. В первых двух случаях существует конечное число (не более различных полюсов функции в где наименьшее положительное число, такое что При этом полюсы могут быть устранены умножением в на если опустить множитель в случае четного без добавления новых корней. В результате получаем полином степени или корни которого легко вычислить. Мы, например, использовали вариант метода Мюллера для того, чтобы устранить трудности вычисления коэффициентов полинома и избежать потери точности. Конечно-разностная схема не создает новых мод и объединяет гармонические виды колебаний, когда их соответствующие циклотронные гармоники накладываются друг на друга.

В третьем случае величины плотно расположены на единичном круге и соотношение (9.53) хорошо ведет себя только при Однако члены ряда с дают вне единичного круга малый вклад в так что система очень похожа на (9.53), в которой ряд для в ограничен членами до птах включительно. Остальные члены и моды с номером, существенно большим итах, только слегка изменяют корни, соответствующие меньшим особенно если учесть влияние столкновений, конечных слегка неоднородное магнитное поле и другие влияния, которые сглаживают резонансы высших гармоник. Кроме того, можно сказать, что система похожа на другую систему с циклотронной частотой достаточно близкой к так что рациональное число.

Численная неустойчивость. Рассмотрим случай холодной плазмы 1 и волны перпендикулярные В. Дисперсионное уравнение запишем в виде (см. задачу 9.17)

Неустойчивость возникает при

В горячей плазме налагающиеся гармоники создают возможность нефизической неустойчивости, проистекающей из взаимодействия гармонических мод, накладывающихся друг на друга. Если достаточно мало для некоторых чисел то гармоники искусственно сводятся вместе. Эта численная неустойчивость возникает из-за конечного ларморовского радиуса, который не может быть рассмотрен в одночастичном анализе; неустойчивость не имеет места в холодной плазме. Даже максвелловское распределение скоростей может быть неустойчивым.

Простым случаем является взаимодействие между гармониками с когда Если вкладом других составляющих вблизи этой частоты можно пренебречь, дисперсионное уравнение примет следующий вид:

При фиксированных наиболее неустойчивый выбор шага по времени дает выражение (см. задачу 9.18)

Это неустойчивость четно-нечетного типа. Инкремент равен полуразности между гармоникой и частотой его можно трактовать как скорость, при которой колесо с спицами, вращающееся с частотой можно наблюдать в свете стробоскопических вспышек, следующих через интервалы

Полное дисперсионное уравнение решалось численно для (примерно 8 шагов на период), при и моноэнергетическом распределении по скоростям [см. уравнение (5.109), кольцо на плоскости Это было сделано для более устойчивой гармонической волны, а не для создания волны с отрицательной энергией. В отличие от неустойчивостей гармонических мод в настоящей плазме взаимодействующие моды не нуждаются в обладании противоположными энергиями. Пара может иметь противоположные знаки номеров гармоник, что дает такой же эффект; значение имеет только требуемый знак При этих параметрах плазма должна быть устойчивой (см. § 5.16). Всего имеется 24 резонансные гармоники при каждом сомножителе Гармоники имеют почти одинаковый сдвиг фаз и за один шаг по времени. Итоговая четно-нечетная неустойчивость будет наиболее сильной при когда длина волны приближенно равна ларморовскому радиусу, а Другие неустойчивости имеют инкременты порядка при для взаимодействия гармоник Неустойчивость отсутствует, когда

такое малое изменение уменьшает число разделенных расстоянием резонансов, насколько это вообще возможно резонансов). Нефизическая неустойчивость устраняется простым выбором циклотронного периода, равного целому числу временных шагов при условии постоянства

При использовании программы в варианте, описанном в § 5.17, получено хорошее согласие с теоретическими результатами. С параметрами из приведенного выше примера графики фазового пространства представляют собой восемь ответвлений вокруг кольца. Волна нарастает до амплитуд, сравнимых с получаемыми при настоящей циклотронной неустойчивости. Изменение до значения (точно 8 шагов на период) устраняет неустойчивость, как и предсказывается теорией. Неустойчивость уменьшается при ослаблении гармонических волн, например когда сглаживается функция распределения (см. задачу 9.19, максвелловское распределение по скоростям), ларморовские радиусы меньше или уменьшается (подавляется любое неустойчивое взаимодействие между высшими гармониками с малыми инкрементами и точной частотной настройкой). Это может быть важно, например, когда имеются горячие электроны, которые считаются устойчивыми, и используется большое значение из-за исследования процессов с временной шкалой много больше

Механизм неустойчивости слегка изменяется при выборе других разностных уравнений (см. задачу 9.15).

Даже если гармоники электронных циклотронных волн не являются объектом изучения, но существуют физически, то они должны быть приняты во внимание при выборе Как было показано, может оказаться недостаточным простое условие малости

Задачи

(см. скан)

(см. скан)