8.5. ВЗВЕШИВАНИЕ ЧАСТИЦ НА СЕТКЕ; ФОРМФАКТОРЫ

Сеточную плотность заряда, создаваемую зарядами расположенными в точках находят по формуле

Это выражение можно толковать как плотность заряда для частиц конечных размеров, определенную на сетке с помощью интерполяции нулевого, первого или второго порядков. Более высокие порядки интерполяции используются редко.

По значениям на сетке определяется электрическое поле; обычно используется та же самая сетка. В электростатических задачах решается уравнение в конечных разностях и вычисляется В нашем рассмотрении не требуется какой-либо специальной формы этого решения или сглаживания. Частные случаи будут рассматриваться в качестве необходимых численных примеров.

Сила, действующая на частицу, получается интерполяцией значений электрического поля в узлах сетки

использующей ту же самую весовую функцию, что и в (8.22). Хотя использование в (8.22) и (8.23) одной и той же функции не

Рис. 8.2. Различные интерполяционные функции для заряда и силы: нулевой порядок, ; первый порядок, второй порядок, параболический или квадратичный сплайн, состоящий из трех параболических непрерывно соединенных секций длин

Рис. 8.3. Зависимость силового поля от х, состоящая из отрезков прямых линий, в случае линейного взвешивания

является необходимым в нашем рассмотрении, имеются веские основания сделать именно так. Использование различных весовых функций в соотношениях (8.22) и (8.23) соответствует использованию различных форм облаков, что может приводить к гравитационноподобной неустойчивости (см. задачу 4.11). Кроме того, если разностные уравнения, связывающие симметричны в пространстве, то использование одной и той же весовой функции устраняет самовоздействие и обеспечивает сохранение момента (см. § 8.6). Различные интерполяционные функции, которые мы уже использовали в качестве формфакторов, показаны на рис. 8.2. «Задание функции формы», использованное в работе [Носкпеу and Eastwood, 1981], соответствует в рассматриваемом случае заданию и в проводимом анализе не используется понятие «форма облака». определяется таким образом, что заряд во всех узлах сетки равен суммарному заряду всех частиц:

Из равенства (8.24) следует утверждение для частицы с координатой х

свидетельствующее о том, что вклад частицы в сеточную плотность заряда точно такой же независимо от расположения частицы. В случае линейной интерполяции (CIC) и

интерполяции более высоких порядков справедливо соотношение

утверждающее, что заряд в точке х дает тот же самый правильный вклад в дипольный момент независимо от расположения частицы (см. задачу 8.2).

Рассмотрим силовое поле в случае линейной интерполяции (рис. 8.3). Оно представляет собой кусочно-ломаную линию, отрезки прямых создают пространственные гармоники с периодом, пропорциональным А х, иначе говоря частицы «чувствуют» сетку. В § 8.7 мы оценим амплитуды гармоник Фурье

Задачи

(см. скан)