12.3. ФЛУКТУАЦИИ

Здесь мы получим спектр флуктуаций сначала для некоррелированных частиц, затем с учетом коллективных эффектов и исследуем различные предельные случаи.

Спектр. В нулевом приближении частицы движутся по прямым линиям независимо друг от друга. Следовательно, координата нулевого порядка частицы в момент времени равна

а преобразование Фурье плотности частиц имеет вид

где и введена периодическая гребенка из -функций

которая заменяет возникающую при непрерывном преобразовании обычную -функцию.

Рассмотрим теперь пример системы, для которой средние величины не зависят от того, где и когда они вычисляются, т. е. однородный и стационарный ансамбль. Это означает, что среднее от полного заряда должно равняться нулю, но среднее от произведений зарядов может быть отлично от нуля. Вычислим среднее по ансамблю такого произведения:

Отсюда легко можно найти флуктуации других величин.

Рассматривая сначала взаимодействующие частицы, подставим (12.13) в (8.65). При усреднении по ансамблю используем следующие утверждения: координаты и скорости частиц нулевого порядка независимы, равно средней плотности частиц и распределение по скоростям нормировано на единицу. В двойной сумме по частицам члены, соответствующие парам различных частиц, уничтожают члены, связанные со средней нейтрализующей плотностью заряда других сортов частиц. В оставшихся членах

В итоге получаем результат вида (см. задачу 12.1)

где функция определена аналогично (12.14). Выражение (12.15) определяет теперь спектр флуктуаций

где

— спектральная плотность числа частиц для случая невзаимодействующих частиц и Заметим, что спектр так же как и спектры других сеточных величин, периодичен по

Из-за флуктуаций плотности возникают поля, которые слегка отклоняют частицы и изменяют плотность. Выберем отклик на возмущения плотности так же, как в виде асимптотического по времени отклика в линеаризованном приближении Власова. Плотность заряда дается теперь формулой (12.2), где заменяется на отличие от истинной плотности оказывается более высокого порядка малости, чем наши окончательные выражения [Hubbard, 1961]. Построим среднее:

Используя далее (12.15) и заменяя на (см. задачу 12.2), получаем

что является основным результатом этого параграфа. Поскольку учтено только прямолинейное движение, это выражение подходит для большинства алгоритмов интегрирования, даже если изменяется вид. Обобщение на случай нескольких сортов частиц тривиально.

Флуктуации других величин очевидным образом связаны с полученными. Например, спектральная плотность энергии в гамильтоновой модели равна

Это выражение пригодно даже для некулоновских законов взаимодействия (см. гл. 10). Условие нормировки и выбора знака дает (см. задачу 12.3)

Зависимость только от возникла из-за вида

выражения (12.15) и тем самым отражает стационарность ансамбля. Для случая одного и двух измерений необходимо очевидным образом изменить степень в нормировке интеграла k.

Предельные случаи. Если один из параметров велик, можно аналитически получить дополнительную информацию. В общем случае эффективные методы вычисления кратных сумм обсуждались в работе [Langdon, 1976].

1) Флуктуационно-диссипативная теорема. Спектр (12.19) для гамильтоновых моделей гл. 10 можно иногда записать в виде флуктуационно-диссипативной теоремы:

где - температура в энергетических единицах. Для обобщения результатов задачи 9.2 применим к (12.4) формулу Племеля

Для того чтобы получить выражение (12.21), положим (сумма по пропадает); предположим, что -распределение Максвелла без дрейфа относительно сетки и у всех сортов частиц одинаковая температура. Теперь можно записать выражение

в котором мы узнаем числитель (12.18). Отсюда немедленно следует флуктуационно-диссипативный результат (12.21). Возможно, что при существует выражение, похожее на (12.21), но со должно быть заменено на некоторое выражение с периодом

2) Пространственный спектр. Обычно измеряется не полный, зависящий от а пространственный спектр. Для его получения можно аналитически проинтегрировать (12.21):

взяв мнимую часть от интеграла по замкнутому контуру, изображенному на рис. 12.1,

подынтегральное выражение которого аналитично в верхней полуплоскости (при сделанных предположениях там корней

Рис. 12.1. Контур, использованный при вычислении интеграла (12.24) для получения пространственного спектра плотности энергии. Радиус большой полуокружности устремляется к бесконечности

нет, см. гл. 8 и 10) и стремится к нулю при Интеграл по (действительная ось за исключением начала координат) равен правой части (12.24). Из интеграла по бесконечно малой полуокружности получаем

где определено при помощи (12.6). В конечной системе это равно энергии, приходящейся на одну Фурье-гармонику [напомним, что к принимает как положительные, так и отрицательные значения, см. (12.20) и § 8.4 и 8.7]. При и постоянном к выражение (12.256) переходит в хорошо известный результат.

В случае точечных частиц («листов» в одномерном случае) экранированный потенциал и пространственный спектр имеют тот же вид. Так как последний легче измерять в компьютерном «эксперименте», может оказаться более предпочтительным (равно как и достаточным) при исследовании кинетических свойств моделируемой плазмы измерять только пространственный спектр. Сравнивая (12.6) и (12.256), видим, что знаменатели в выражениях для потенциала Дебая и пространственного спектра одинаковы (вклад коллективных эффектов), но имеется некоторое различие в числителях (источники). Тем самым при это не одно и то же.

Получить выражение для можно, аналитически вычислив, так же как в § 12.2, сумму по можно также аналитически совершить обратное преобразование Фурье и найти пространственную корреляционную функцию и полную плотность тепловой энергии поля. Предел тривиален: разные ячейки не коррелированы, и энергия поля на одну ячейку равна (см. задачу 12.4).

3) Высокочастотный шум при Основной результат здесь заключается в том, что на очень больших частотах спектр спадает медленно как отрицательная степень вместо того чтобы уменьшаться быстрее — пропорционально

Высокие частоты связаны с частицами, пересекающими сетку с частотой, примерной равной

Полагая имеем , так что одномерном случае

В двух или трех измерениях в отсутствие пространственной сетки частицы дают вклад во флуктуации для всех частот но не больше. На частотах возникает вклад от всех чисел дающих эффект наложения частот. Полагая при в противоположном случае, можно, аппроксимировав сумму интегралом, оценить уровень флуктуаций при одномерном линейном взвешивании:

При взвешивании по методу «ближайший угол сетки» шумы спадают как Графики спектров и сравнение с измерениями, сделанными при моделировании, можно найти в работе [Okuda, 1972].

При электростатическом моделировании высокочастотный шум не так уж вреден — он возникает на высоких частотах и частицы не могут сильно реагировать на такие нерезонансные поля. (В электромагнитных моделях высокочастотный шум приводит к осложнениям, см. гл. 15.) Тем не менее при конечных как мы увидим дальше, картина меняется в худшую сторону.

4) Высокочастотный шум при При конечном шаге по времени высокочастотные шумы действуют так же, как и низкочастотные. На это указывает сумма по Мы увидим также, что при больших спектр имеет тенденцию к «уплощению», т. е. зависимость от становится более слабой и нарушается баланс между трением и диффузией в пространстве скоростей, который в тепловом равновесии сохраняет энергию.

При и максвелловском распределении по скоростям спектр (12.18) принимает вид

При конечное не меняет спектра, если но при одновременно дают вклад несколько членов в сумме по В этом случае удобно иепользовать выражение [Langdon, 1979в]

которое можно получить из (12.28), применив формулу суммирования Пуассона [Lighthill, 1962]. Из результатов задачи 9.24 следует, что при и выражение (12.29) указывает на примерную постоянность спектра (белый шум)

В этом пределе тепловые частицы за один шаг по времени проходят заметную часть длины волны, и нет никакой корреляции между их вкладами в для разных моментов времени, что и является белым шумом.

В случае, когда конечны, белый шум может появиться, даже если мало.

5) не равны нулю. Обсуждаемый здесь основной результат — появление сеточного шума на низких частотах (12.27). Этот эффект наиболее сильно проявляется при мы рассмотрим случай Теперь т. е. для максвелловского распределения и и член с определяется выражением (12.18). Но так что (12.29) описывает члены с Это позволяет переписать источник в виде

Как только первая сумма по быстро сходится, тогда как вторую сумму можно вычислить аналитически так же, как это было сделано в § 12.2. При достаточно оставить только член с На частотах как и требовалось, доминирует первый член. На частотах больших, чем и юг, белый шум подавляет этот физический член:

Для одномерного линейного взвешивания выражение (12.32) пропорционально на больших длинах волн Для более коротких волн, используем (12.29) для любых и в одномерном случае на всех частотах получаем

Это означает потерю корреляции между временными шагами, что впервые было отмечено в работе [Hockney, 1966]. Наши результаты находятся в разумном соответствии с эвристическим

анализом [Abe et al., 1975] эффекта влияния на времена корреляции и другие величины.

При взвешивании по методу «ближайший узел сетки» и спектр не зависит ни от к, ни от Для одномерного сокращенного дипольного взвешивания (см. гл. 11) находим

что хуже, чем при взвешивании по методу «ближайший узел сетки», и на малых длинах волн в 3 с лишним раза больше, чем при линейном взвешивании. Причины этого заключаются в разрывности что приводит к (вместо для линейного взвешивания), и в отрицательных значениях, принимаемых функцией что приводит к увеличению интеграла

На практике пользователи сокращенного дипольного взвешивания отфильтровывают малые длины волн, из-за которых и возникают большие различия. Разумеется, если кто-либо готов примириться с некоторой потерей разрешения в случае линейного взвешивания, то уровень шумов будет ниже, чем при сокращенном дипольном взвешивании.

Задачи

(см. скан)