15.3. ТОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ

Можно многое узнать о точности и устойчивости схемы § 15.2, рассмотрев плоскую электромагнитную волну в вакууме. Полагая, что поля имеют вид и

подставляя это в разностные уравнения, получаем

где В континуальном пределе переходят в Исключение приводит к соотношению

которое представим в виде

Очевидно, что действительно (нет затухания или нарастания), если

или если при условие Куранта. Если это условие нарушается, то становится больше единицы при лежащих вблизи , корни становятся комплексными и один из корней дает нефизический рост возмущений, который может быть очень быстрым. Когда условие (15.12) выполнено, нет фазовых и амплитудных различий между Погрешности в величине взаимной ориентации имеют второй порядок по Все эти результаты являются прямым следствием центральности разностной схемы в пространстве и во времени.

Как видно из зависимости от А, изображенной на рис. 15.4, при с Заметим, что на краю основной зоны, при опускается до значения

Следовательно, на малых длинах волн для релятивистских частиц может оказаться, что и возникает нежелательное нарастание волн или излучение Вавилова — Черенкова. В работах [Boris, Lee, 1973; Haber et al. 1973] упоминается о шуме от этого излучения от частиц со скоростью, большей минимальной фазовой скорости. В

Рис. 15.4. Дисперсия (15.11), определяемая уравнениями Максвелла в вакууме при конечных В одном измерении дисперсионной погрешности в нейтрально устойчивом случае не возникает

работах [Godfrey, 1974, 1975] исследуются коллективные неустойчивости при взаимодействии релятивистских электронных пучков с этими медленными световыми волнами (этот вопрос обсуждается в § 15.5). Отмеченный недостаток повышает интерес к алгоритмам, для которых световые волны в вакууме распространяются с правильной скоростью и у которых есть другие свойства, также улучшающие устойчивость (см. гл. 6 и § 15.9).

Задачи

(см. скан)