11.6. ПОЛНАЯ ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИЛЫ; ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ

Дисперсионное соотношение демонстрирует влияние численных эффектов на плазменные волны и проясняет вклад каждого шага вычисления силы. Опираясь на результаты § 11.5, приступим к выводу дисперсионного соотношения для незамагниченной плазмы:

что совпадает с (9.35а), если записать и убрать из-под знака суммы.

Поскольку интегрирование по времени не связано с мультипольным вычислением силы, можно игнорировать сложности, связанные с конечностью шага по времени. Из (9.356) имеем

Кроме того, при проведении количественных оценок ограничимся одномерным случаем. Наши рассуждения и дисперсионное соотношение эквивалентны Содержащимся в работе {Chen, Okuda, 1975].

Не следует смешивать величину именуемую в литературе формой частицы («частица гауссовой формы»), и весовую функцию То, что играют разную роль, отчетливо

Рис. 11.6. Зависимость весовых функций от для NGP и линейного взвешивания (верхняя и нижняя сплошные кривые) и для сокращенного дипольного взвешивания (штриховая кривая). Штриховкой обозначены интервалы на которые оказывает влияние сглаживание на сетке с длинами волн больше Тем самым важно сравнивать незаштрихованные интервалы, где фильтрация сеточных величин не может селективно подавить погрешности, связанные с большими значениями при вблизи изменения физической силы (потери разрешения)

видно из дисперсионного соотношения (11.47); появляется вне суммы по представляет собой просто произвольный сглаживающий множитель (в первой зоне Бриллюэна и используется в любом методе это множитель Следовательно, относительная точность мультипольного разложения определяется

Мы знаем из (11.39), что если удерживаются все моменты, то ошибок наложения не возникает. Тем самым только один член суммы в выражении для дисперсионной функции отличен от нуля, и то же самое возникает при вычислении силы без сетки (11.1) и (11.2):

Это — диэлектрическая проницаемость при нулевом шаге сетки; следовательно, при мультипольное разложение действительно не зависит от сетки и из-за наложения не возникает никаких нефизических результатов. На практике, однако, можно удержать самое большее октупольные моменты, так что важно сравнить дипольные и октупольные члены.

Функция в первой зоне Бриллюэна при сокращенном дипольном разложении почти постоянна, а при линейном взвешивании спадает более быстро — как Разумеется, в первой зоне Бриллюэна можно произвольным образом переопределять так что характер изменения этой функции может быть каким угодно.

В высших зонах Бриллюэна, тем не менее, нельзя независимо контролировать (незаштрихованные области при рис. 11.6). Для SDPE при

тогда как при использовании стандартных линейного (CIC) и квадратичного (QS) сплайнов имеем

При т. е. при длинах волн, больших примерно 10 ячеек, эффекты наложения в SDPE и CIC одинаковы. В противоположном пределе для CIC ведет себя как (11.52). тогда как в SDPE наложение больше и ведет себя как это указывает на то, что при наложение для дипольного разложения того же порядка, что и в методе NGP, где Причины медленного уменьшения заключаются в разрывах силы на плоскостях посредине ячеек.

В квадрупольной Схеме QPE наложение меньше 1% почти для всей показанной на рис. 11.6 области. Это достижение требует существенного дополнительного увеличения памяти и объема вычислений. Следовательно, QPE следует сравнивать со схемами взвешивания частиц более высокого порядка, такими, например, как квадратичный сплайн для которого в (11.51) и При для QS наложение больше и достигнет примерно 0,067 при это составляет примерно 0,4 от немного меньше, чем для (при и примерно в 3 раза больше, чем для при других значениях наложения для QS меньше и максимумы меньше, чем для других методов.

В работе [Okuda, Cheng, 1981] показано, что даже квадратичные сплайны и мультипольные схемы высшего порядка численно неустойчивы при малых (мы это демонстрировали для взвешивания низкого порядка). Там же обнаружено, что при квадратичных и кубичных сплайнов устойчивость лучше, чем у октупольного разложения. Авторы связали это с большей гладкостью, допускаемой сплайнами, что согласуется и с нашей точкой зрения. При только кубические сплайны допускают приемлемую численную устойчивость.

На рис. 11.7 и 11.8 сравниваются наше улучшенное сокращенное дипольное разложение (11.20) и двухмерное билинейное -взвешивание. Стандартный метод SDPE не столь хорош. Для билинейного взвешивания наложение возникает в основном вблизи осей где функция максимальна. Величина для улучшенного метода в этой области по меньшей мере того же порядка или даже больше.

(кликните для просмотра скана)