ГЛАВА 8. ЭФФЕКТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЕТКИ

8.1. ВВЕДЕНИЕ. РАННИЕ РАБОТЫ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СЕТОК И ЯЧЕЕК В ОПИСАНИИ ПЛАЗМЫ

Здесь использованы работы [Langdon, 1970 а, b; Langdon and Birdsall, 1970], а также часть результатов из неопубликованных

отчетов за 1968 -1970 гг. Мы начнем с введения и краткого исторического обзора.

Численное моделирование на ЭВМ стало мощным инструментом изучения плазмы. Затрачивается много усилий и машинного времени для исследования новых, более трудных задач. Для систематизации такой работы мы провели теоретический анализ общего класса многочастичных методов моделирования. Как и любой человек, изучающий основные свойства реальной плазмы, мы исследовали колебания, флуктуации и столкновения в идеализированном случае однородной и бесконечной или периодической плазмы. Даже в простых случаях есть несколько моментов, когда модель весьма неточно воспроизводит поведение плазмы. В этой и четырех последующих главах изложена теория и обсуждено такое нефизическое поведение модели, которое вызвано конечно-разностными методами. На плазму когерентно воздействуют периодичность пространственной сетки, в узлах которой определяются электромагнитные поля, и периодичность конечно-разностного интегрирования по времени. Иногда возникают различные параметрические неустойчивости, которые могут быть и сильными, и слабыми и с трудом могут быть отделены от настоящих физических неустойчивостей. Существует также высокочастотный шум, связанный со скоростью пересечения частицами ячеек пространственной сетки. Если временной шаг достаточно велик, так что частота этого шума превышает частоту временной выборки, то шум разрушает нормальные флуктуации и столкновения частиц и может стать превалирующим. Теория помогла определить природу таких нефизических эффектов при моделировании.

В ранних работах по моделированию плазмы были проанализированы различные схемы каждого шага вычислений, но общая картина описания плазмы тщательно не анализировалась. Мы начнем со строгого описания пространственной сетки и дадим формулировку, описывающую максимальное число используемых в настоящее время программ. Это будет сделано таким образом, чтобы была ясна роль каждого шага вычислений в конечном результате, а "Также можно было сравнить выражения, описывающие свойства плазмы, с соответствующими характеристиками настоящей плазмы. Детально рассмотрен электростатический случай. В гл. 10 исследованы линейные дисперсионные соотношения, устойчивость и вопрос сохранения энергии. Влияние пространственной сетки на сглаживание силы взаимодействия и связь плазменных возмущений с возмущениями на других длинах волн названо наложением частот. Сила связи зависит от гладкости используемого метода интерполяции. Ее влияние определяется в основном тем, как хорошо в отсутствие сетки плазма будет реагировать на волновые числа

к если дебаевский радиус слишком мал, связь может разрушить плазменные колебания даже в горячей плазме.

Обсуждаемые модели плазмы созданы в Станфордском университете в 1963 г. Для того чтобы сделать двухмерное моделирование практичным и экономичным, Бунеман и Хокни [Yu е. а., 1965; Hockney, 1965, 1966] создали модель, использующую пространственную сетку, на которой по координатам частиц вычисляется плотность заряда, уравнение Пуассона решается в конечно-разностной форме, а затем силы, действующие на частицы, вычисляются путем интерполяции значений в узлах сетки. Это значительно более эффективно, чем суммировать для частиц сил, вычисленных по закону Кулона. Авторы перечисленных выше работ поняли, что при этом устраняются расходимости, связанные с вычислением сил по закону Кулона; взаимодействие при малых расстояниях между частицами сглажено и уменьшено рассеяние на большие углы при парных столкновениях, которое в горячей плазме не представляет интереса и которое из-за малого числа используемых при моделировании частиц сильно преувеличено [Hockney, 1966]. Хотя одномерное моделирование можно осуществить и другими средствами, новая модель оказалась простой и быстрой в вычислениях [Dunn and Но, 1963; Burger е. а., 1965; Buneman and Dunn, 1966]. Часть выигрыша в скорости расчетов обеспечивает метод интегрирования уравнений движения по времени. Были созданы быстрые алгоритмы, сохраняющие основные физические характеристики плазмы [Buneman, 1967]. Преимущества сеточного подхода не были немедленно признаны всеми, и потребовалось выполнить много модельных расчетов, чтобы показать его эффективность.

Впоследствии другие исследователи развили варианты сеточных моделей с использованием более аккуратной интерполяции и других методов решения уравнения Пуассона [Birdsall е. а., 1968; Birdsall and Fuss, 1968, 1969; Morse and Nielsen, 1968, 1969; Boris and Roberts, 1969; Alder e. a., 1970]. Завершением этих усилий было крупномасштабное моделирование нескольких задач по управляемому термоядерному синтезу, выполненных в 1968 г. в Лос-Аламосской научной лаборатории. С тех пор моделирование с использованием таких методов стало широко применяться при исследованиях плазмы.

Мы больше заинтересованы в точности описания коллективных плазменных явлений, чем индивидуального движения частиц. Следовательно, наше аналитическое описание, терминология и критерии будут больше соответствовать физике плазмы, чем численному моделированию, скажем, задачи Коши для небольшой системы дифференциальных уравнений. В

некоторых случаях коллективные свойства горячей плазмы играют решающую роль.

Очевидно, что модели неаккуратно воспроизводят микроскопическую динамику плазмы. Необходимо рассмотреть, как такие неточности изменяют макроскопическое поведение. Обычно в модели слишком мало частиц. Это приводит к таким эффектам, связанным с использованием дискретных частиц, как чрезмерное влияние столкновений и флуктуаций. Возможно также, что частиц слишком мало для адекватного описания в фазовом пространстве таких плазменных явлений, как резонансное затухание Ландау. Могут быть серьезные проблемы с заданием начальных и граничных условий. Ошибки округления обычно могут быть сделаны пренебрежимо малыми по сравнению с другими ошибками. Такие источники ошибок практически трудно оценить. Необходимо было провести исследования их влияния на нефизические эффекты. Это было сделано с помощью экспериментов с такими моделями [Birdsall е. а., 1968; Hockney, 1968, 1970; Montgomery and Nielson, 1970; Okuda, 1970, 19726].

Кроме эмпирических результатов желательно иметь теоретические оценки. Это следует из тех соображений, что добавление хорошей теории дает лучшее понимание физики, чем большое число осциллограмм или компьютерных распечаток.

Во второй части книги мы развиваем теоретическое описание ошибок, вызванных конечно-разностным представлением во времени и пространстве динамики частиц и уравнений поля. Можно ожидать, что теория также предскажет неожиданные интересные результаты, которые можно проверить экспериментально. Будут описаны результаты, которые, по-видимому, относятся к этой категории.

Уже было сделано несколько предварительных обсуждений моделей плазмы. Сглаживающее и шумовое влияния пространственной сетки были признаны достаточно давно [Носкпеу, 1968; Langdon and Birdsall, 1970; Okuda and Birdsall, 1970], и было дано их приближенное теоретическое описание [Носкпеу, 1968; Longdon and Birdsall, 1970; Okuda and Birdsall, 1970]. Интегрирование во времени было сделано эвристически [Випе-тап, 1967].

Однако рассмотрение пространственно-временной сетки только как источника сглаживания и шума не позволяет рассмотреть очень важные эффекты, включая когерентное взаимодействие в пространстве и во времени плазмы и сеточных величин. Существует теория, точно описывающая эффекты конечных разностей и применимая к линейной дисперсии волн, устойчивости и сохранению энергии [Lindman, 1970; Langdon, 1970а,Ь]. Мы также изучали флуктуации и

столкновения частиц [Langdon, 1979]. Теория достаточно полна и формально строга, насколько это возможно для таких систем. Ее результаты легко применить к различным частям алгоритмов моделирования, и необходимые изменения литературных данных применительно к рассматриваемым задачам сделаны ниже. В отдельных случаях мы сохраняем результаты в форме, позволяющей легкое сравнение с теорией плазмы.

Хотя наши методы применимы и к более общим моделям, мы ограничимся примерами только с кулоновским взаимодействием и один раз рассмотрим случай с внешним магнитным полем.