13.4. ЧИСЛЕННЫЙ РАЗОГРЕВ И ОХЛАЖДЕНИЕ

Саморазогрев в одном измерении. Измерение саморазогрева осуществлялось при -моделировании однокомпонентной плазмы. Обнаружено, что для теплой плазмы температура растет линейно со временем. Время саморазогрева определяется как время, за которое величина (или удваивается. и др. [Abe et al., 1975] обсуждали увеличение энергии из-за

Рис. 13.10. Распределение флуктуаций вблизи среднего значения,

флуктуаций силы, обусловленных нефизическим влиянием сетки; Абе (Н. Abe, частное сообщение) отметил, что из их работы следует выражение

где величина возрастающая с увеличением порядка взвешивания, определяет, насколько хороша модель. Обнаружено также [Peiravi, Birdsall, 1978], что в области время разогрева для NGP максимально при и равно

для максимально при

и для также при :

где

Эти одномерные результаты согласуются с двухмерными [Hockney, 1971]. Время саморазогрева увеличивается при ослаблении на малых длинах волн — обнаружено, что юртн возрастает примерно при обрезании на где для сплайнов нулевого, первого и второго порядков соответственно [Peiravi, Birdsall, 1978]. Таким образом, можно использовать много ячеек с сильным пространственным сглаживанием (больше и получить большое даже если величина много больше 1/2.

Охлаждение из-за демпфирования в уравнениях движения для частиц. Нефизическое охлаждение наблюдалось как в явных [Adam et al., 1982], так и в неявных [Barnes et al., 1983] кодах, использующих демпфированные уравнения движения. В операторе столкновений Ленарда — Балеску, соответствующем демпфированной схеме интегрирования по времени, содержатся два члена, возникающие из-за фазовых погрешностей при

демпфировании. Один из них — это нерезонансный вклад в поляризационное трение, а другой — фиктивный нерезонансный вклад в динамическое трение

В кинетической теории мы пренебрегаем влиянием пространственной сетки. При обобщении оператора столкновений (§ 12.5) на случай демпфированных схем интегрирования сколько-нибудь интересных изменений диффузии по скоростям не возникает, однако члены, соответствующие трению в пространстве скоростей, изменяются.

Поляризационное трение (12.49), связанное с анизотропной поляризацией незамагниченной плазмы пробной частицей, равно

где в при помощи (9.57) выражено через

— отношение амплитуд Фурье получающееся из конечно-разностных уравнений движения [которое при точном интегрированиидолжно быть равно Смысл члена заключается в том, что величина понимается как предел причем у положительно и стремится к нулю. Обычно даег обычный вклад Ландау, но в данном случае из-за фазовых погрешностей, связанных с численным демпфированием, величина не равна нулю и при

Другой член, «динамическое трение» [см. (12.53)], также выражается через и спектр тепловых флуктуаций (12.18). Легко убедиться в качестве проверки теории, что выражения (13.30) и (12.53) с учетом теплового спектра (12.18) обеспечивают сохранение импульса всей системы частиц.

Эти результаты используются для записи уравнения Фоккера — Планка, описывающего эволюцию функции распределения

где тензор диффузии (12.40). Поскольку в пределе непрерывного времени резонансные части (13.30) и (12.53) взаимно уничтожаются, уравнение (13.31) сохраняет энергию. Скорость охлаждения, связанная с нерезонансной частью (численной природы), равна

где теперь подразумевается, что резонансная часть опущена. Для схемы уравнений движения (см. § 9.8) имеем

тогда как для схемы (см. § 9.8)

В обоих случаях если разброс скоростей частиц меньше, чем то подынтегральное выражение всюду положительно и поэтому происходит только охлаждение.

Для этих схем с демпфированием третьего порядка в подынтегральном выражении множитель к пропорционален при малых При демпфировании первого порядка он стремится к нулевой постоянной [Cohen et al., 1982в]. Различные улучшения схем третьего порядка [Barnes et al., 1983в] дают разные фазовые ошибки и, следовательно, разные скорости охлаждения. Количественные вычисления скоростей охлаждения, основанные на этой кинетической теории, до сих пор не проведены.

Эвристические оценки. Поскольку саморазогрев обусловлен исключительно эффектами пространственного и временного наложения, естественно попытаться оценить скорость разогрева при помощи (см. гл. 7) — части силы, связанной с членами Это было проделано в работах [Abe et al., 1975; Hockney, Eastwood, 1981 ]. Однако надежно оценить разогрев (или охлаждение) трудно, поскольку он является результатом небольшого дисбаланса в соревновании между трением и диффузией.

На эту трудность указывают случаи, для которых известны точные результаты и к которым с равной степенью правдоподобия применимы подобные оценки. Например, метод [Abe et al., 1975], применимый к сохраняющим энергию моделям (см. гл. 10), дает нулевой разогрев даже в пределе

Поскольку результаты гл. 12 воспроизводят качественные свойства типа законов сохранения, более разумные оценки следует получать при помощи приближенного вычисления выражения кинетической теории.