8.12. НЕФИЗИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ХОЛОДНОГО ПУЧКА

Рассмотрим односкоростной холодный электронный поток, двигающийся относительно сетки и неподвижного ионного фона. Физически эта модель должна быть устойчивой. Дисперсионное уравнение имеет вид (8.85). При любом фиксированном к оно имеет структуру, аналогичную случаю многих пучков в системе. Единственное отличие состоит в том, что квадрат эффективной плазменной частоты для половины «пучков» отрицателен. Все частицы сильно взаимодействуют, когда доплеровски сдвинутая частота находится вблизи гармоник сеточной частоты т. е. вблизи резонанса, определяемого соотношением

Можно показать, что имеется два корня, соответствующих каждому члену в сумме в дисперсионном уравнении (8.85).

Рис. 8.4. Примерный вид зависимости от для холодного пучка в случае кода с сохранением импульса. Показаны значения полюсов для каждого значения Этот рисунок справедлив при при полюсы лежат вне полосы

Корни либо действительны, либо попарно комплексно сопряжены.

На рис. 8.4 схематически изображена зависимость от при малых Сразу заметны пары действительных корней, соответствующих случаю Для всех других резонансов существуют пары комплексных корней, один из которых неустойчив. Для больших моды имеют высокий порядок резонанса, возбуждаются с трудом и также легко разрушаются любым затуханием или разбросом при резонансе, т. е. при Для каждого значения при действительных к существует два значения либо действительных, либо комплексно сопряженных. При очень малых при (высшие зоны); при для малых для сохраняя член с полагая и удерживая только один член с получаем решение вблизи резонанса в виде

Мы видим, что возможна чисто вычислительная неустойчивость при имеющая место только в программе с сохранением импульса, или при в случае программ с сохранением энергии или момента. Заметим, что неравенства определены с точностью до численного множителя из-за приближений, сделанных при выводе соотношения (8.101).

Инкременты мод с при больших довольно велики. При численном решении с в работе [Langdon, 1970&] был получен инкремент при для а максимальный инкремент превышает при Неустойчивость холодного пучка (и горячей плазмы, см. ниже) были подтверждены при моделировании в работе для алгоритмов с сохранением импульса и момента, в работе [Langdon, 1973] для сохранения энергии и в работе [Chen е. а., 1974] для модели с сохранением импульса, причем каждая работа добавила свои детали к описанию неустойчивостей. Во всех случаях численная

чивость, приводящая к нарушению сохранения энергии (импульса системы), ясно наблюдалась в программе с сохранением импульса (сохранением энергии).

В работе [Birdsall е. а., 1975, 1980] приведены многочисленные решения уравнения (8.85) для различных случаев линейной стадии неустойчивости, исследование проведено на основе программы с сохранением импульса. Для программ с сохранением энергии пороговым значением является Кроме того, в этой работе приведены «рецепты» по уменьшению инкрементов. Однако при рассмотрении нарастания неустойчивости холодного пучка до насыщения по энергии электрического поля и тепловой энергии (так как неустойчивость нагревает пучок) было установлено, что рост прекращается и система возвращается в исходное состояние с сохранением энергии довольно быстро по достижении определенного уровня, примерно при

Уровень насыщения, обусловленный захватом частиц, был выведен аналитически в [Birdsall and Maron, 1980]. На рис. 8.5 показана область устойчивости при всех значениях

При задании в- качестве начальных условий значений больших, чем определяется формулой (8.102), неустойчивость не возникает. Следовательно, если необходимо устранить нефизическую неустойчивость холодного пучка, то достаточно просто ввести небольшой тепловой разброс, как предписывает неравенство (8.102). Если этого не сделать, то такое значение появится само собой! Следовательно, эта нефизическая неустойчивость стремится к самозатуханию; такое поведение коррелирует с численными неустойчивостями жидкостных моделей, которые стремятся к саморазрушению. Было установлено, что неустойчивость является благом, потому что она так изменяет начальное состояние системы, что алгоритм становится более точным; Однако такое изменение может быть фатальным для цели моделирования! Например, если бы для ESI были выбраны неподходящие параметры в работах [Ishihara е. а., 1981, 1982], то холодный электронный пучок из-за сеточной неустойчивости нефизически термализовался бы за время намного меньшее, чем требуется для насыщения физической неустойчивости.

В [Langdon, 1973] для программы с сохранением энергии и в [Birdsall and Maron, 1980] для кода с сохранением импульса была получена прекрасная картина фазового пространства показывающая коротковолновую активность частиц при в соответствии с эффектом наложения частот; например при (16 различных мод) можно наблюдать 12 мод для

Рис. 8.5. Экспериментальное определение теплового разброса скоростей, необходимого для устойчивости пучка в периодической (математически) сеточной системе в случае программы с сохранением импульса. Для программ с сохранением энергии устойчивость определяется аналитически: область неустойчивости; 2 — область устойчивости

сеточных значений мод в фазовом пространстве (см. § 10.9).

В работе [Birdsall and Maron, 1980] также был исследован чистый тепловой случай без дрейфа, начиная с модель Тепловая и полная энергия растет во времени, и ее асимптотически можно описать соотношением

где константа, после чего линейный инкремент становится малым. Теория для горячего пучка приведена ниже.