13.5. ВРЕМЯ СТОЛКНОВЕНИЙ И РАЗОГРЕВА ДЛЯ ДВУХМЕРНОЙ ТЕПЛОЙ ПЛАЗМЫ

Хокни [Hockney, 1971] сослужил хорошую службу электростатическому моделированию, проделав 73 долгих расчета

тепловой (максвелловской) плазмы в изменяя при этом в широких пределах форму и размеры частиц и Из этих вычислений он получил время замедления, время саморазогрева и уровень флуктуаций — часть этих результатов приводится здесь. Читатель отсылается к его оригинальной статье, а также к работе [Hockney, Eastwood, 1981].

В лабораторной плазме мы ожидаем, что отношение и уровень флуктуаций пропорциональны Этого же, но с поправкой на сеточные эффекты, можно ожидать и при моделировании. В лабораторной плазме нет саморазогрева. При моделировании мы получаем слабый саморазогрев, пропорциональный и исчезающий при

Модель Хокни представляет собой пространственно однородную плазму, причем используется пятиточечный разностный лапласиан и двухточечный градиент. Модель дважды периодична, магнитного поля нет, и вначале загружается одинаковое число электронов и ионов и отношение масс Координаты частиц выбирались случайно, с однородным распределением по х и у. Скорости частиц выбирались при помощи обратной функции ошибок при где Отслеживалось изменение орбиты электрона из-за столкновений, за ионами тоже следили, но результаты эти не использовались [масштаб ионных времен в или раз больше]. При измерялись компоненты скорости параллельные и перпендикулярные начальному направлению, и угол отклонения Отслеживалось также изменение кинетической энергии каждой частицы по сравнению с ее начальным значением

Было получено четыре характерных, обусловленных столкновениями времени которые существенны как в лабораторной, так и в Моделируемой плазме. Эти времена определяются следующим образом:

Угловые скобки означают усреднение заключенных в них величин по ансамблю электронов и ионов в отдельности:

Хокни использовал как меру столкновительных эффектов. При все эти времена сравнимы, а при для электронов уменьшаются из-за того, что рассеяние на ионах оказывается почти упругим.

Пятое время, время разогрева, находим из соотношения

Время разогрева определяет степень нарушения сохранения энергии в численной модели. Измерения Хокни для взвешиваний нулевого и первого порядков (NGP и CIC) приведены на рис. 13.11. Заметим, что увеличение порядка взвешивания (при этом с частиц срезаются острые углы и уменьшаются эффекты наложения) увеличивает в 3 раза. Важное наблюдение Хокни заключается в линейном со временем росте величины что указывает на стохастическую природу разогрева. Средняя начальная энергия как электрона, так и иона равна поэтому плотность энергии системы равна или следовательно, к моменту когда энергия двухмерной системы возрастает на 25%.

Оказалодь, что результаты моделирования зависят от введенного Хокни параметра

где второй член представляет собой число центров облаков, приходящихся на одно облако. Исходя из наилучшего соответствия со своими данными, Хокни использовал и 2 соответственно для и Эти выборы означают, кроме того, что эффективный радиус частицы примерно определяется расположением максимума силы. Из видно, что вследствие использования частиц конечных размеров при для столкновений и флуктуаций радиус частиц важнее дебаевского радиуса.

Время соударения подбирается по методу наименьших квадратов так, чтобы

где для 73 расчетов, причем Так как то

Хокни отметил (частное сообщение), что при учете

Рис. 13.11. Типичные результаты, полученные при измерении времени разогрева. Кинетическая энергия растет со временем примерно линейно

конечных размеров частиц эмпирическое соответствие формуле (13.40) остается удовлетворительным даже в предельном случае который из-за наложений слабо неустойчив.

Флуктуации электрического поля оказались равными (в единицах

где Для проверки этого измерения, исходя из теории плазмы, Хокни сделал оценку

Для сетки в пренебрежении вкладом наложений и при имеем

что хорошо согласуется с (13.42). Грубо говоря

Время разогрева оказывается сильно зависящим от причем зависимость от та же, что и Зависимость от демонстрируют линии постоянного отношения (рис. 13.12). Это отношение представляет собой число соударений за время разогрева, причем число это должно быть большим, за исключением тех случаев, когда оба времени превосходят время моделирования. Поскольку разогрев линейно увеличивается со временем и при погрешность полной энергии составляет 25%, в момент погрешность равна -это позволяет предсказывать ошибку экспериментов с горячей плазмой. Заметим, что для CIC величина примерно в 16 раз больше, чем для NGP, и что в случае CIC для типичных значений что вполне приемлемо. Возможная причина уменьшения при увеличении обсуждалась в § 12.7.

Рис. 13.12. Линии постоянного отношения в плоскости для взвешиваний NGP и CIC

Для облегчения проектирования Хокни придумал график в координатах изображенный на рис. 13.13. Для холодной плазмы область справа от неустойчива, а для горячей плазмы граничную линию нужно немного сдвинуть, Другая граница, где возникает нефизическая - неустойчивость, добавляется при При за время ячейку пересекает много частиц, и это определяет нижнюю границу. Предложенный им оптимальный путь определен соотношением вплоть до

При помощи значений на оптимальном пути Хокни затем свел данные на рис. 13.14. Зависимость времени разогрева имела вид

Замечательно, что для величина примерно в 20 раз больше, чем для

Существует очевидное противоречие между NGP и связанное с тем, что при одном и том же величины различаются в 20 раз. В работе [Montgomery, Nielson, 1970] обнаружено, что NGP-модели релаксируют в 10 раз быстрее, чем CIC-модели, однако если релаксация к распределению Максвелла обусловлена только парными соударениями, то не должно возникать различий при моделировании с различными весами (NGP и CIC) и одним и тем же временем столкновений Хокни отметил, что противоречия здесь нет, поскольку при моделировании стохастический разогрев связан только с погрешностью в вычислении полей.

Дополнительная информация о временах разогрева, включающая более сложные формы частиц и -точечный шаблон для

Рис. 13.13. График для исследования времени разогрева. Затененные области нежелательны, штриховой линией указан оптимальный путь, на котором

Рис. 13.14. Зависимость отношения времени разогрева и столкновений на оптимальном пути от для моделей NGP и CIC

уравнения Пуассона, приведена в работе [Hockney et al., 1974]. В более поздней статье для CIC приведено значение объясняется это тем, что перед измерением скорости разогрева более аккуратно устанавливалось тепловое равновесие. Увеличение шаблона для уравнения Пуассона с 5 до 9 точек для CIC не приводит к изменениям. При использовании QS-взвешивания и -точечного шаблона с эффективным радиусом частиц величина возрастает до 150, а после добавления корректирующего потенциал члена (при этом оказывается, что По сравнению со стандартной CIC-моделью в последнем случае в 30 раз больше, и при величина увеличивается в 5 раз, а в 150 раз; время вычислений при этом возрастает в 2 раза—цена вполне разумная. Последние модели, где для уменьшения влияния сетки используется подстройка потенциала (обычно в -пространстве), Хокни называет спокойными частично-сеточными моделями (QPM).