4.9. ТОЧНОСТЬ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

При анализе метода решения уравнения движения было установлено, что ошибка пропорциональна Теперь необходимо оценить точность метода вычисления электрических полей. Хотелось бы, чтобы ошибка была пропорциональна

Предположим, что значения плотности заряда в узлах сетки известны и необходимо определить потенциалы в узлах решая уравнение Пуассона

Для этой цели преобразуем (4.64), используя результаты работ [Kollats, 1966; Forsite and Vasov, 1960], к представлению в виде конечных разностей с использованием трехточечной схемы

где значение четвертой производной в интервале между узлами сетки. Разностная схема такого же порядка точности требует для своей записи пяти точек в двухмерном случае и семи точек в трехмерном. Ошибка пропорциональна как нам и хотелось. Она довольно мала в случае, когда а при исчезает вообще. Эта форма записи уравнения Пуассона широко используется в численном моделировании.

Исходя из значений плотности заряда в большем числе узлов сетки, можно записать уравнение (4.64) в виде

в котором используются 9 точек в случае и 19 точек разностной сетки в случае Точность этой разностной схемы существенно выше, чем (4.65), и в то же время требует лишь незначительного увеличения объема вычислений. Существует множество разностных схем и более высокого порядка точности. Однако для моделирования важна не точность решения уравнения Пуассона сама по себе, а точность вычисления силы, действующей на частицы. Поэтому в дальнейшем будем использовать форму записи (4.65), так как именно она лучше обеспечивает необходимый сглаживающий эффект при расчете сил.

Задачи

(см. скан)