5.15. ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ

Электростатические волны в горячей плазме затухают даже в отсутствие столкновений. Этот удивительный результат был получен впервые при исследовании на комплексной плоскости со аналитического продолжения потенциала после преобразования Лапласа. Детальный анализ этого явления и объяснение его физической сущности можно найти в работах [Jackson, 1960; Dawson, 1961].

При максвелловском распределении скоростей имеются частицы, двигающиеся быстрее и медленнее фазовой скорости волны Если мы перейдем в систему отсчета, двигающуюся с фазовой скоростью, потенциал будет периодической функцией х и будет затухать без осцилляций со скоростью Если пренебречь затуханием, то легко видеть, что электроны, имеющие скорость в пределах интервала захватываются волной и их скорость колеблется вокруг значения с частотой где максимальная амплитуда составляющей поля волны вдоль этой фазовой скорости. Возвращаясь в неподвижную систему отсчета, видим, что резонансные электроны в диапазоне скоростей за время меняются местами с электронами, чьи скорости изменяются от до Если первоначально большее число электронов находилось в интервале меньших скоростей, то суммарная энергия частиц будет увеличиваться за счет энергии волны. Это и есть бесстолкновительный механизм диссипации, объясняющий затухание Ландау, скорость которого пропорциональна

Мы начнем с примера, показывающего этот эффект и подчеркивающего, кроме того, ряд трудностей при его моделировании в чистом виде. Пусть

Волна затухает с декрементом близким к значению, предсказанному линейной теорией, но энергия волны уменьшается только на порядок, а затем медленно осциллирует. Такие же результаты были получены в работе [Denavit and Walsh, 1981], где использовался другой способ задания спокойного старта.

При задании случайно распределенных начальных скоростей экспоненциальное затухание не проявляется. Функция распределения вблизи значения должна быть очень тщательно задана начальным распределением частиц. По этой причине мы не можем уменьшить очень большой декремент в этом примере выбором меньших значений чтобы сдвинуть фазовую скорость на редко заселенный «хвост» распределения. Вместо этого мы используем такой прием.

Во-первых, мы разделим электроны на две группы, одна — холодная, другая — с максвелловским распределением скоростей. В программе ESI эти группы будут условно рассматриваться как различные сорта частиц, обозначаемые Выбирая мы помещаем фазовую скорость на самый крутой склон функции распределения для того, чтобы в области захвата попало много частиц, а декремент был много меньше сорс.

Во-вторых, небольшая хитрость позволит нам уменьшить необходимое число частиц. В коде мы можем выбрать это означает, что холодные частицы переносят существенно больший заряд, чем горячие. Выбирая для холодных частиц, можно устранить нелинейность в их восприимчивости и использовать Все эти изменения не влияют на рассмотрение процессов при малых амплитудах.

Используйте в основной программе такие параметры: ,4; для горячих частиц а для холодных для меченых же частиц выбирается так, чтобы получить значения скорости 0,8; 0,9 и 1,0. В этом примере энергия поля уменьшается на два порядка, а затем возрастает, как показано на рис. 5.25. Начальный декремент легко оценить из линейной теории, используя мнимую часть дисперсионного уравнения что при малых дает соотношение

Рис. 5.25. (см. скан) Фазовые портреты на плоскости для затухания Ландау (рис. 5.25, а - д соответствуют значениям и изменение энергии поля в зависимости от времени На фазовых диаграммах маркерные частицы, имеющие такое же значение но существенно меньшие по сравнению с основными частицами показаны различными точками соответственно значениям скорости и 1,0. Для прояснения пространственной структуры для построения выбран интервал и каждая частица построена дважды: в точках и

из которого для максвелловского распределения получаем

При моделировании полагаем и из выражения (5.107) имеем что хорошо согласуется с полученным при моделировании значением Нарастание амплитуды после происходит из-за колебаний захваченных электронов в поле волны. Его можно ускорить увеличением начальной амплитуды, т. е. частоты колебаний захваченных частиц, но нельзя существенно уменьшить без увеличения числа частиц в модели.

Изменяя несколько операторов в коде, можно нарисовать фазовое пространство и только для области захвата и увидеть изменения но из фазового портрета нельзя понять тонкую структуру явления, так как информация о предшествующих моментах развития в программе не сохраняется. Захват можно увидеть, если строить графики для частиц, чья начальная скорость была больше 0,9. Другим способом описания служит построение графиков для третьего сорта частиц — меченых, которые имеют то же самое отношение но меньшую плотность заряда, так что они движутся вместе с горячими частицами, но не участвуют в развитии неустойчивости. Мы используем три пучка таких частиц со скоростями . Фазовые портреты этих частиц, представленные на рис. 5.25, несут информацию об истории резонансных частиц, которую нельзя получить из функции распределения в программе, использующей интегрирование уравнения Власова.

Задача

(см. скан)