5.3. АНАЛИЗ ЛЕНГМЮРОВСКИХ КОЛЕБАНИЙ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ

Понятие «холодная плазма» является внутренне противоречивым, так как в большинстве случаев плазма имеет по крайней мере одну скоростью компоненту с тепловой энергией большей, чем а также слегка сингулярным в силу предположения, что Если ввести тепловую энергию так, чтобы то поведение плазмы существенно изменится. Тем не менее многое можно изучить, используя упрощение которое позволяет нам использовать простые начальные условия и легко интерпретировать полученные результаты. Первоначально ограничимся при вычислениях областью

Рис. 5.4. Электрон-ионные пары в пространстве без сетки. Ионы полагаются массивными и остающимися вблизи положений равновесия Если электроны отделены от ионов менее нем на половину равновесного расстояния между листами, то их движение будет колебательным, но не простым гармоническим. Электроны должны пересечь много ионов, чтобы дать приближение к плазменным колебаниям

Из книг по теории плазмы известно, что в холодной плазме заряженные частицы совершают простое гармоническое движение относительно равновесных положений которое описывается соотношениями

с решениями

При обычном выводе соотношения (5.27) делают допущения, например или считают, что частицы распределены в пространстве непрерывно, или траектории частиц не пересекаются. Вывод можно получить любым способом очень быстро, так что обычно серьезно не задумываются о сделанных допущениях или полученных результатах. Поэтому разберемся во всем этом подробнее.

Во-первых, очень просто учесть движение и ионов, и электронов. Результат будет тот же самый: частицы обоих видов колеблются гармонически с одной и той же частотой юре но возмущение ионной плотности и скорости в раз меньше, чем у электронов. Следовательно, мы полагаем ионы неподвижными для высокочастотных колебаний и устремляем отношение к бесконечности.

Во-вторых, для вычислительных целей необходимо решить, как будут рассматриваться ионы или можно ли пренебречь их движением и следить только за электронами.

Предположим, что мы на мгновение забыли о пространственной сетке и рассматриваем одномерное однородное распределение электронов и ионов (листы) (рис. 5.4). Пусть каждый лист имеет заряд или система нейтральна, в том смысле, что полный заряд равен нулю. Если сместить электроны на расстояние меньшее половины однородного расположения ионов то каждый электрон притягивается назад к своему родственному иону; электроны колеблются вокруг ионов. Но такое движение не будет гармоническим, так как сила, действующая на любую частицу, в одномерном случае

не зависит от расстояния. Детальное описание движения является сложной задачей, поэтому рассмотрим более простой случай пары частиц ион-электрон.

Чтобы преодолеть трудность описания гармонического движения, введем в рассмотрение большее число однородно расположенных ионов, например пять ионов с зарядом каждый на один электрон с зарядом Будем отклонять электроны от положения равновесия так, чтобы они пересекали несколько ионов в своем колебательном движении. Для изолированной группы ионов и одного электрона сила между ионами более или менее постоянна и изменяется скачком в момент пересечения иона электроном. Такая конструкция начинает приближенно описывать желаемую силу, пропорциональную отклонению от положения равновесия. Если ввести однородный фон, т. е. непрерывное распределение ионов, то все трудности описания силы исчезнут. Если добавить теперь пространственную сетку, размазывание ионов для создания однородного фона выполняется относительно легко. В периодической системе, где нет некомпенсированного заряда на периоде системы, программа моделирования может нейтрализовать полный заряд, вводя однородный фон, равный разбалансу в заряде, просто обнулением среднего значения в ряду Фурье для плотности заряда Или можно в программе ESI присваивать значениям плотности заряда величину плотности заряда ионов еще до вычисления плотности заряда движущихся частиц. С этой точки зрения полезно вывести линейную продольную (поле направлено вдоль к) диэлектрическую проницаемость с для одномерной холодной плазмы с одним подвижным видом частиц (только электроны, —

Электроны могут иметь в нулевом порядке дрейфовую скорость вдоль вектора k. Так как поток является холодным, используем гидродинамические уравнения

Для потока с дрейфовой скоростью

Полная производная в уравнении (5.29) будет равна

Предполагая зависимость от в виде линеаризованное уравнение движения запишем в виде

Рис. 5.5. Дисперсия холодной плазмы, или —диаграмма, показывающая плазменные колебания при и аналогичная зависимость для электронов, дрейфующих со скоростью среди тяжелых ионов; показаны волны пространственного заряда (б)

Линеаризованное выражение для тока выглядит так:

а уравнение непрерывности записывается в виде

или

Подстановка значения из (5.34) дает

Подстановка же из (5.38) в (5.35) и использование уравнения

приводит для диэлектрической проницаемости к выражению

Решения со для продольных волн получаются из условия корни которого имеют вид

Они показаны на рис. 5.5. Эти решения описывают плазменные (ленгмюровские) колебания или волны пространственного заряда при

Задачи

(см. скан)

(см. скан)