10.11. ПРИМЕР МОДЕЛИ С ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ
Исследуем природу силы 
действующей на частицы, в примерах с линейной интерполяцией, приведенных в [Lewis, 1970]. Во-первых, заметим, что 
разрывна. При заданном фиксированном 
в двухмерном случае сила 
непрерывна и кусочно-линейна как функция у и представляет собой ступенчатую функцию х. В одномерном случае 
-ступенчатая функция (см. рис. 10.1). В этом случае можно ожидать большего шума, чем в обычных алгоритмах линейного взвешивания, общее время вычислений меньше, так как выражение для 
существенно проще. Очень трудно выполнить интегрирование по времени достаточно точно для реализации улучшения сохранения энергии. При эмпирическом изучении [Lewis et al., 1972; Brown et al., 1974; Lewis and Nielson, 1975] вариационные алгоритмы не проявили своего превосходства.
Сохранение импульса и собственные силы. Как упоминалось выше, простым примером нарушения сохранения импульса является учет силы, действующей на частицу со стороны ее собственных полей. Так как частица имеет много соседей, более существенно, что сила двухчастичного взаимодействия является неконсервативной. Однако случай одиночной частицы проще и представляет некоторый интерес. Рассмотрим одиночную частицу в большой одномерной системе, используя линейную интерполяцию. Поместим частицу между точками сетки 
Тогда собственная сила записывается в виде
где 
Это — потенциальная яма простого гармонического осциллятора. Попробуем выяснить ее влияние в однокомпонентной плазме. Она дает частоту колебаний 
много меньшую, чем 
если число частиц в ячейке 
велико. Энергетическая глубина ямы 
может быть сравнима с тепловой энергией:
где 
масса частицы; 
случайная тепловая скорость; 
дебаевский радиус. Аналогичные результаты получаются в двух- и трехмерных случаях (см. задачу 10.12).
Заметим, что отношения (10.49) малы при больших 
и заданном 
Более того, так как другие частицы в ячейке дают вклад в силы, сравнимый с собственной силой частицы, последняя становится малой по сравнению с нормальным многочастичным взаимодействием.
Мы пока далеки от мысли игнорировать погрешности интегрирования по времени, предполагая сохранять шаг 
пренебрежимо малым. Если 
остается постоянным при, уменьшении 
то при 
колебания, вызванные силой, становятся неустойчивыми. Поэтому возникает следующее требование: 
Было показано, что даже до порога неустойчивости скорости частиц могут безгранично диффундировать — из-за погрешностей интегрирования по времени возникает большое несохранение энергии. Хотя такое нефизическое поведение даже невозмущенных траекторий частиц нежелательно, можно сравнить его с диффузией скоростей, связанной с обычными столкновениями. Для оценки скорости диффузии предположим, что 
настолько мало, что положения частиц внутри ячейки случайны и независимо распределены от одного шага по времени до другого. Среднеквадратичная собственная сила в одномерном случае равна 
и приводит к диффузии, определяемой выражением
Вычисляя время диффузии 
и полагая 
получаем
тогда как обычные времена столкновений для одномерной плазмы равны 
или 
Кажется, не представляет труда сделать 
Аналогичный аргумент можно привести в двух- и трехмерных случаях. Погрешности интегрирования могут увеличите значимость собственной силы, но не чрезмерно.
Можно попытаться восстановить сохранение импульса добавлением новой силы к каждой частице, которая уничтожит ее собственную силу. Мы, однако, рассмотрим случай, когда частицы четко периодически размещены на целых расстояниях 
Немодифицированный алгоритм не дает нам никакой ненужной силы.
Заметим, что при использовании уравнения Власова самоускорение исчезает и система остается такой же, как и без уничтожения самоускорения. Обсуждение в § 10.9 показывает, что в этом случае импульс не сохраняется. Никакое сглаживание 
или 
не восстанавливает сохранение импульса. Несохранение импульса не является основным вопросом при рассмотрении собственной силы частицы.
Точность макроскопического поля. Если какое-либо плазменное явление не изменяется при смещении сетки относительно самой себя, то оно не изменится при замене силы взаимодействия на усредненную силу 
определенную в § 10.7. Для
примера рассмотрим колебания горячей плазмы, используя точность периода и декремент (или инкремент) как меру точности вычисления полей.
В § 10.10 показано, что вклад членов с 
имеет четвертый или более высокий порядок по 
Следовательно, погрешность более низкого порядка в 
уменьшает порядок точности в целом. При линейном взвешивании с помощью (10.30) получаем
Итак, 
имеет относительную погрешность — 
вызывающую аналогичную погрешность в частоте колебаний 
Заметим, что погрешность в 
может вызвать погрешность в 
изменением фазовой скорости. Для максвелловского распределения этот вклад в относительную погрешность 
равен — 
и не зависит от k.
Погрешность 
можно устранить изменением алгоритма решения уравнения Пуассона. Это можно сделать при решении такого же уравнения Пуассона, но с измененной правой частью 
Тогда остаются погрешности 
и из-за наложения погрешностей. получаем итоговую погрешность четвертого порядка в 
Эти замечания справедливы также в случае двух и трех измерений. Алгоритм решения уравнения Пуассона, полученный из вариационного принципа, не оптимален с этой точки зрения. Будет ли он оптимальным в ситуациях, отличных от единственного случая колебаний холодной плазмы, еще требуется показать.
Очевидно, что при применении вариационного принципа возникают проблемы в случае, когда базисные функции не составляют полной системы. Известно много других таких примеров, например явление Гиббса при приближении функции тригонометрическими суммами по методу наименьших квадратов, дающем усеченные ряды Фурье, в которых, как и в рассматриваемом случае, лучшие алгоритмы могут быть получены при учете природы результатов, которые необходимо получить.
Задача
(см. скан)
