5.11. ПРИБЛИЖЕННЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПЛАЗМЕННО-ПУЧКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Нелинейная модель холодного слабого пучка в плазме рассматривалась теоретически, например в работе [Drummond е.а., 1970], экспериментально [Gentle and Lohr, 1973] и с применением вычислительного эксперимента [Kainer е.а., 1972]. Все результаты хорошо согласуются между собой. Изложим

здесь Эти работы в общих чертах, выделив интерпретацию результатов и выводы [Hasegawa, 1975].

Используем вначале изложенные ранее данные линейного анализа, чтобы получить значения относительной модуляции плотности и скорости, необходимые для понимания явления захвата частиц. Подставляя в дисперсионное уравнение (5.81) значение в виде

где 51, легко получить приближенное кубическое уравнение

Отсюда находим три корня уравнения в результате комплексная частота нарастающей волны имеет вид

Возмущение первого порядка плотности и скорости в случае можно оценить из соотношений

Даже при -ной модуляции пучка по плотности скоростная модуляция все еще мала, особенно в плазме, так как

Эти оценки наводят на мысль, что пучок может достигнуть нелинейной стадии, в то время как плазма остается еще существенно линейной. При моделировании слабых пучков рассмотрение линейного плазменного фона позволяет описать плазму диэлектрической проницаемостью, как, например, в работе [O’Neil е.а., 1971], или как линеаризованную Жидкость, см. [Lee and Birdsall, 1977].

Даже в случае сильной нелинейности можно предположить, что потенциал достаточно точно можно представить в виде периодической функции

умноженной на Пучок захватывается этим потенциалом. В системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью частица с номером видит стационарный потенциал

и ведет себя так, как будто находится в не зависящем от времени потенциальном поле, т. е. подчиняясь закону сохранения энергии

Рис. 5.19. Фазовые траектории частиц пучка, наблюдаемые из системы отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны

Рис. 5.20. Фазовое пространство частиц пучка начало захвата, через половину периода колебаний захваченных частиц и последняя диаграмма — через много периодов колебаний захваченных частиц)

где с — полная энергия частицы. Конечно, необходимо помнить, что для потенциала, зависящего от времени, условие несправедливо. Поведение частиц в фазовом пространстве показано на рис. 5.19. Низкоэнергетичные частицы с захватываются, а высокоэнергетичные с остаются пролетными. Частицы с энергией находятся на дне потенциальной ямы с нулевой скоростью. Критическое значение скорости выхода из захвата (энергия ) равно

Таким образом, когда потенциал станет достаточно велик, так что пучок начинает захватываться. Эта стадия начинается в момент времени когда достигает значения

связанного со средней плотностью энергии поля

которая более чем в 1000 раз меньше плотности кинетической энергии пучка. В работе [Drummond е.а., 1970] было предположено, что захват может происходить так, как показано на диаграммах (рис. 5.20). После того как пучок захватился, он

Рис. 5.21. Зависимость плотности энергии электрического поля от времени. При начинается захват первых частнц и при пучок отдает максимум со своей кинетической энергии. Далее колебания затухают, так как не все частицы имеют одинаковую частоту колебаний в потенциальной яме волны

скатывается к дальней стенке потенциальной ямы за половину периода колебаний в ней. В этот момент частицы пучка уже потеряли часть кинетической энергии

половина которой переходит в кинетическую энергию колебаний, а вторая половина превращается в энергию поля, как это следует из линейной теории, которая с небольшой натяжкой еще может быть применена здесь. В момент плотность энергии поля определяется выражением

Это в раза больше, т. е. на чем при Заметьте, что при наиболее сильном слабом пучке т. е. 25% энергии пучка может перейти в энергию поля, что может служить грубой оценкой эффективности или насыщения. Когда скорости частиц вернутся к исходным значениям через половину периода колебаний, энергия поля снова перейдет в кинетическую энергию, однако поскольку частицы из-за непараболичности ямы колеблются с различными частотами, то они перемешиваются по фазе и колебания частиц и поля затухают, как показано на рис. 5.21. В итоге энергия поля равна полуразности энергий пучка в начале и в конце, когда в нем устанавливается размазанное распределение энергий, симметричное относительно фазовой скорости волны со средним значением В пределе плотность энергии поля определяется выражением

что составляет ровно половину максимального значения. Выражение для фтах приведено в работе [Walsh and Hagelin, 1976].

Конечно, представленная картина явления весьма приближенна. В статье [Hasegawa, 1975] было показано, что модуляция скорости пучка в момент захвата порядка т. е. пучок

хорошо сгруппирован. Представленная на рис. 5.20 схема без группировки и со слабой скоростной модуляцией слишком проста. Сгустки захватываются и вращаются в фазовом пространстве, и в целом изменения электрической энергии, показанные на рис. 5.21, имеют место, но детали явлений, как можно увидеть из моделирования, оказываются существенно иными.

Приведенное выше рассмотрение дает ключ к пониманию нелинейного поведения слабого пучка. Подробности вычислений можно найти в работе [Kainer е.а., 1972], где рассмотрены случаи сильного и слабого пучков в нелинейном режиме. Используя результаты этого исследования и выбирая значения можно провести ряд полезных моделирований взаимодеиствия пучка с плазмой.