15.6. УРАВНЕНИЯ ...; ОБЕСПЕЧЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА
Существуют еще два уравнения Максвелла. Покажем теперь, что, так же как и в непрерывном случае, разностные уравнения обеспечивают сохранение дивергенции 
Иными словами,
Аналогично
Таким образом, если 
удовлетворяют уравнению непрерывности, то выполняется и закон Гаусса.
Каким бы способом ни вычислялась плотность 
если она определяется только мгновенными координатами частиц, то ни одна из описанных выше плотностей тока не удовлетворяет 
уравнению непрерывности. Это можно показать даже в пределе 
(см. задачу 15.6).
Методы получения сохраняющего заряд тока 
развивались как для 
вычисленного при помощи взвешивания нулевого порядка [NGP, Buneman, 1968], так и для взвешивания первого порядка [Morse, Nielson, 1971]. Последние авторы обнаружили, что уровень электромагнитных шумов растет со временем неприемлемо быстро. Этот эффект наблюдался и в других работах. Причины обсуждаются в § 15.8. Такой подход если и можно рекомендовать, то только для сложных криволинейных координат, в которых неудобно решать уравнение Пуассона (15.32) или (15.37). Здесь, и в следующем параграфе мы покажем, как работать с неконсервативными токами 
При помощи закона Ампера и выражения (15.25) для 
вычислим 
а затем подгоним продольную часть 
так, чтобы 
принимала правильное значение. Из-за микроскопической несогласованности Лир, связанной с использованием сеток и взвешивания, использование нескорректированного 
приводит к 
не удовлетворяющему, вообще говоря, закону Гаусса (
Если поправку искать в виде
причем потребовать, чтобы
то это означает, что
и, таким образом, для вычисления 
необходимо решить уравнение Пуассона
Эта поправка, введенная в работе [Boris, 1970], удобна с точки зрения вычислений и широко используется. Согласованная с операторами градиента и дивергенции разностная форма Лапласиана (15.32) представляет простой пятиточечный оператор 
Поскольку эта коррекция осуществляется после вычисления новых полей, процедура в целом центральна по времени и обратима (см. задачу 15.7).
Для усиления волн промежуточной длины (для лучшей дисперсии) и подавлении шума на коротких волнах иногда имеет смысл перед использованием (15.32) осуществить пространственную фильтрацию.
Может показаться, что использование уравнения Пуассона приведет к передаче информации о движении частиц со сверхсветовой скоростью. Однако при линейном взвешивании каждая частица дает в (15.32) квадрупольный вклад. Таким образом, вклад каждой частицы в корректирующие поля — и 
быстро уменьшается с расстоянием и коррекция в значительной степени локальна.
Задачи
(см. скан)
