10.10. НАЛОЖЕНИЕ ЧАСТОТ И ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЫ

Выще утверждалось, что дисперсия волн в горячей плазме очень хорошо описывается уравнением, основанным на

Рис. 10.3. (см. скан) Фазовое, пространство в моменты времени Начальная дрейфовая скорость равна возбуждалась третья мода. В процессе взаимодействия появилась 13-я мода из-за наложения частот, так как моделирование проводилось для 16 точек сетки. Обе моды связаны сеткой и быстро нарастают. Следует обратить внимание на масштаб скоростей. Момент соответствует распределению части после насыщения

использовании усредненной силы Это было установлено при численном решении точных, включая наложение частот, дисперсионных уравнений (см. § 8.13). В настоящем параграфе показано, что ошибки наложения при линейном взвешивании могут иметь четвертый или пятый порядок по Следовательно, погрешности при больших длинах волн могут быть меньше, чем погрешности второго порядка в в случае использования вариационного принципа (см. обсуждение в конце § 10.11).

Дисперсионное соотношение из § 9.5 имеет вид

где частицы рассматриваются как линеаризованная власовская плазма: непрерывны. Эффекты конечного шага сетки описываются точно. Для простоты рассмотрим одномерный случай.

Если в соотношении (10.43) сохранить только слагаемое с получим приближенное соотношение, которое записывается как и получается при замене силы на Для линейного взвешивания имеем

если Отсюда можно заключить, что разность имеет четвертый порядок по Для уверенности в этом необходимо рассмотреть отклик плазмы при коротких длинах волн из интеграла по скоростям. Используем максвелловское распределение со среднеквадратичным разбросом наложенным на дрейфовую скорость. Получим

где производная дисперсионной функции плазмы из работы [Fried and Conte, 1961]. Далее проведем аналитические выкладки в интересующем нас случае При малых аргументах разложение функции имеет вид

Подставляя это разложение в равенство (10.45) и используя разложение при малых к, как в формуле (10.44), получаем низший неисчезающий порядок по

Соответствующая погрешность в приблизительно пропорциональна так что погрешности и из-за наложения имеют соответственно четвертый и пятый порядок по Однако при использовании вариационного принципа погрешность в равна Итоговая погрешность в требует другого оператора для уравнения Пуассона (см. § 10.11).

Мнимая часть равенства (10.47) показывает уменьшающееся влияние членов с наложением при Кроме того, следует заметить, что при эти члены могут стать дестабилизирующими.