12.6. ТОЧНЫЕ СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

После вывода своего кинетического уравнения Ленард [Lenard, 1960] рассмотрел -теорему и некоторые выполняющиеся микроскопически неравенства и законы сохранения. В этом отношении его уравнение оказалось удовлетворительным. Мы начнем с такой же проверки нашего кинетического уравнения. Использование его обозначений позволит избежать существенного дублирования похожих манипуляций.

Кинетическое уравнение (12.52) имеет вид

где поток в пространстве скоростей

причем из (12.52) имеем

Используя периодическую зависимость от к, удобно переписать сделав замену и

Плотность частиц сохраняется, во-первых, поскольку оператор столкновений имеет вид дивергенции потока в пространстве скоростей, причем когда кинетическое уравнение интегрируется по скорости, столкновительный член можно, используя теорему Гаусса, переписать в виде интеграла по бесконечно удаленной поверхности в пространстве скоростей.

Плотность должна быть большей или равной нулю. Ленард показал, что если тензор отрицателен, то положительная гладкая функция не станет впоследствии отрицательной (см. задачу 12.9). Это следует из того, что если имеет вид интеграла и суммы отрицательных величин, то квадратичная форма

для любого А.

Импульс сохраняется, если

(см. задачу 12.10). Соотношение (12.58) можно проверить, если поменять местами и для того, чтобы заменить на использовать затем -функцию и периодичность по частоте. Так как -функция четная, мы снова возвращаемся к (12.56). Итак, импульс сохраняется, как это и должно быть в моделях с точным сохранением импульса.

Тем не менее мы знаем, что энергия не является точно сохраняющейся, и в действительности мы не можем здесь сделать никаких общих выводов об энергии. (Изменение полной энергии в рассматриваемом приближении совпадает с изменением кинетической энергии.) Доказательство Ленарда сохранения кинетической энергии опиралось на то, что , а здесь это не так. Оставим этот вопрос на некоторое время открытым.

Для доказательства -теоремы необходимо использовать только (12.57) и (12.58). Имеем

и равенство нулю невозможно. Тем самым в этом случае не существует не то чтобы максвелловской, а вообще

стационарной функции То же самое происходит и в случае одного измерения, а также если или по отдельности стремятся к нулю. Можно сказать, что пространственно-временная сетка производит энтропию даже для плазмы с максимально возможной при заданных плотности, импульсе и энергии энтропией. Так как величина экстремальна, она может меняться только при изменении внешних условий. В этом случае должна возрастать энергия. И действительно, можно показать, что в максвелловском случае энергия возрастает в точном соответствии с изменением энтропии:

-теорема дает выражение, удобное для изучения процессов, связанных исключительно со свойственным модели нефизическим нагревом, который легко измеряется в численном эксперименте [Montgomery, Nielson, 1970]. На самом деле полная энергия обычно контролируется.

Для «сохраняющих» энергию моделей можно показать, снова следуя Ленарду, что функция остается положительной и число частиц сохраняется. Поскольку импульс и энергия микроскопически не сохраняются, следует ожидать, что они не сохраняются и при кинетическом описании (за исключением энергии при см. задачу 12.11).

Распределение Максвелла стационарно при В противоположном случае из -теоремы следует, что меняется так, что энтропия возрастает

О скорости изменения импульса, энергии и можно сказать немного больше, если в какой-то момент времени — функция распределения Максвелла. Можно показать, что хотя по отдельности приращения энергии и импульса не имеют определенного знака, их комбинация

что указывает на увеличение разброса при увеличении в дрейфовой системе отсчета — так возрастает энтропия.

Легко видеть, что при уменьшается. Иными словами, «столкновения с сеткой» замедляют дрейф, а разброс по скоростям возрастает так, чтобы величина оставалась постоянной.

Мы по-прежнему ожидаем, что при конечном, но малом шаге по времени дрейф замедляется, или, точнее говоря, скорость стремится к величине (при такой скорости для

плазмы сетка выглядит стационарной). В любом случае искажение физических свойств происходит из-за эффектов наложения частрт, а не из-за «сглаживания» силы с Обратное утверждение не обязательно выполняется — для гамильтоновых моделей легко доказать сохранение импульса, и пространственное наложение не влияет на сохранение энергии.

Задачи

(см. скан)