14.4. ВЗВЕШИВАНИЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ ФОРМЫ ЧАСТИЦ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ S(x), S(k), АНИЗОТРОПИЯ СИЛЫ

Распределение заряда частицы по соседним узлам сетки приводит к тому, что мы уже использовали при взвешивании нулевого, первого и второго порядков в к NGP, билинейным и биквадратным сплайнам. Сейчас нас интересует эффективная форма частиц (какова анизотропия), представление Фурье (какова связь с высшими зонами Бриллюэна), а также анизотропия силы. Взвешивание при этом проводится в прямоугольных координатах; взвешивание в цилиндрических координатах обсуждается в § 14.10.

Проще всего выглядит привязка нулевого порядка к одному узлу сетки Ближайший узел сетки находится из координат частицы выделением целой части (для Заряд частицы приписывается узлу сетки,

Рис. 14.6. То же, что и на рис. 14.5, но вторая частица движется под углом 45 к оси максимум силы уменьшается и скачки раз длиннее

Рис. 14.7. Линии плотности частиц для линейного взвешивания в Полная площадь частицы равна

если центр частицы оказывается в ячейке с центром в этом узле; если же центр частицы переходит через края ячейки, то частица приписывается следующему узлу. Форма частицы изображенная на рис. 14.4, представляет собой прямоугольное облако веса 1 со сторонами и А у. Показанная на рис. 14.5 сила между двумя частицами разрывна, что приводит к шуму и саморазогреву, но при удалении зарядов на несколько ячеек приближается к физической зависимости Как и для любых взвешиваний, короткодействующие силы пропадают. Прямоугольная форма приводит к показанной на рис. 14.6 анизотропии силы. По этим причинам метод используется редко.

Распределение первого порядка представляет собой в двух измерениях линейное взвешивание по отношению к четырем ближайшим узлам сетки (следовательно, билинейное) и вследствие геометрической интерпретации часто называется взвешиванием по площадям, что показано на рис. 14.2. В работе [Birdsall, Fuss, 1969] использовалось название «облако в ячейке» и частица рассматривалась как прямоугольная по определению, а доля частицы, попадающей в каждую ячейку, приписывалась ее центру. При взвешивании скорости жидкости автор работы (Harlow, 1964) использовал название «частица в ячейке» (PIC). Следуя ему, Morse, Nielson (1969) также рассматривали частицу как точечную, но ее заряд при помощи линейной интерполяции приписывали ближайшим узлам сетки. Веса определяются выражениями (14.1). Другой способ взвешивания в точке (при х, у в единицах имеет вид

Рис. 14.8. Сила между двумя частицами для линейного взвешивания (слева). Положительный заряд расположен в начале координат. Показана сила, действующая на положительный заряд, движущийся вдоль оси х или под углом 45° к ней. Использован -точечный шаблон для уравнения Пуассона. Справа то же, что и слева, но шаблон -точечный

Форму частицы можно воспроизвести, измеряя приписанный узлу сетки заряд при движении частицы относительно этой точки. Следовательно, (14.6) определяет форму частицы. На рис. 14.7 показано улучшение формы по сравнению с плоской прямоугольной частицей в методе NGP, но частица все еще не вполне круглая. Показанная на рис. 14.8 сила теперь кусочно-непрерывна, что приводит к уменьшению шума и саморазогрева по сравнению с методом NGP.

Информативным оказывается преобразование Фурье формфактора частицы В частности, определяет связь основной зоны Бриллюэна с меньшими длинами волн, или эффект наложения. Для линейного взвешивания функция изображена на рис. 11.8. Отметим, что функции те же, что и в так что взаимодействие зон с основной зоной столь же велико, сколь и в определено формулой (8.66)]. Взаимодействие с зоной (1.1) намного меньше, так как [тогда как Отметим, что функция в зоне (0,0) очень близка к где и остается в достаточной степени изотропной в зонах и Сравните это с соответствующим выражением для изображенного на рис. 11.7 «улучшенного диполя», у которого анизотропия больше, больше величина вне зоны следовательно, больше эффект наложения.

Во втором порядке распределение по девяти ближайшим узлам сетки квадратичный сплайн)

где совпадает с Контуры плотности, профили и сила изображены на рис. 14.9. При взвешивании частиц по девяти точкам возникает дополнительная

Рис. 14.9. Линии плотности частиц для квадратичного взвешивания в Полная площадь частицы Профиль формфактора плотности) вдоль радиуса частицы, вдоль оси х или у и между ними (б). Сила (см. предыдущие рисунки) для квадратичного взвешивания в

вычислительная погрешность (по сравнению с одной точкой в NGP, четырьмя точками в CIC, PIC), но зато теперь частица почти круглая. Кроме того, увеличивается площадь частицы: при в методе NGP площадь частицы для CIC, PIC площадь составляет а для QS площадь частицы

рекомендуем читателю, прежде чем использовать какой-либо новый способ взвешивания, получить для него