8.13. РЕШЕНИЕ ДЛЯ МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ; НЕФИЗИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ВЫЗВАННЫЕ СЕТКОЙ

Диэлектрическая проницаемость для незамагниченной электростатической плазмы, описываемой уравнением Власова, дается выражением (задача 8.10)

Если максвелловское распределение по скоростям при нулевой дрейфовой скорости, то соотношение (8.103) можно записать в виде

где производная плазменной дисперсионной функции [Fried and Conte, 1961].

При основным в (8.104) является член с При значениях к, существенно отличающихся от моды сильно затухают. В этом случае нельзя ожидать существенного взаимодействия, связанного с наложением частот. В первой зоне сохраним только член с получая усредненную силу и

Рис. 8.6. Решения точного (с учетом всех и приближенного дисперсионных уравнений для максвелловского распределения скоростей при и интерполяции по методу NGP. Значение соответствует ожидаемому затуханию Ландау; сплошная кривая при учете всех штрих-пунктирная при пунктирная

диэлектрическую проницаемость (см. § 8.3 и 8.11).

Это соответствует модели бессеточной плазмы облаков с кулоновским взаимодействием, причем

где сохранен только член с формфактор облака, используемый в дисперсионном уравнении.

Решение этих двух дисперсионных уравнений и (8.105)] показано на рис. 8.6 при для одномерного максвелловского распределения метод NGP. Различие между в двух случаях графически незаметно, а существенно отличаются только для сильного затухания волны. Связь гармоник при несущественна, и усредненная сила работает очень хорошо; при использовании метода совпадение больше улучшается.

В этом случае имеется очень много фазовых скоростей с которыми частицы могут резонансно взаимодействовать. Если связь не слишком сильна, то нет качественной разницы в поведении для действительных в частности не меняется знак ее производной. Это условие может не выполняться для мнимой части

что может изменить условие устойчивости плазмы. В половине случаев противоположно по направлению х, так что множитель имеет неправильный знак. Для малых это может сделать произведение отрицательным, тогда как остается положительным, что приводит к неустойчивости [Lindman, 1970; Langdon, 1970 а, I]. Говоря на плазменном жаргоне, волна имеет положительную энергию и накапливает отрицательное поглощение. При в работе

Рис. 8.7. Решения точного и приближенного (кривые 2 и 3) дисперсионных уравнений при и использовании интерполяции по методу NGP. Наличие при соответствует нефизическому нарастанию из-за наложения частот, возникающего при сохранении членов с При использовании интерполяции по методу максимальный инкремент примерно в 10 раз меньше и равен кривые кривые

1970 а] было обнаружено слабое нарастание, имеющее место только при длинах волн, много больших которое становится существенным при уменьшении в широком диапазоне к как видно из рис. 8.7 при отношении Ниже мы объясним эти результаты и получим дополнительные выводы.

Дисперсионное уравнение периодично по ограничимся т. е. основной зоной Бриллюэна, в которой только к и имеет физический смысл. В этом случае физическая фазовая скорость больше скорости гармоник Так, отношение может быть больше, чем что может привести к пренебрежимо малому затуханию Ландау. В то же время медленные волны сильно взаимодействуют с термализованными частицами как показано на рис. 8.8, если Вклад от волн с равными почти взаимно уничтожается, и в итоге возникает неустойчивость. Хотя она и мала при малых к [порядка для NGP и при линейном взвешивании], затухание Ландау для основной волны стремится к нулю даже быстрее при Так, сетка может дестабилизировать колебание даже для больших длин волн

При скорости накладывающихся волн попадают на плоскую часть функции распределения частиц по скоростям и затухание Ландау имеет место до тех пор, пока

Рис. 8.8. Фазовая скорость волны фазовые скорости налагающихся волн при

мало. Следовательно, для длинных волн неустойчивость ограничена и очень слаба. Эта нефизическая неустойчивость при и линейном взвешивании имеет пренебрежимо малые инкременты.

Однако когда наинизшие и наиболее сильные налагающиеся частоты взаимодействуют с крутыми спадами начальной функции распределения и затухание Ландау мало даже при когда имеется сильная связь. В результате возникает сильная неустойчивость порядка для однако при линейном взвешивании что составляет примерно на период и может считаться пренебрежимо малым во многих приложениях.

Если отношение еще уменьшится, слабый вклад в наложение частот дают только члены с большими значениями и неустойчивость исчезает, как это и можно ожидать, — холодная стационарная плазма не активна и обладает только устойчивыми колебаниями. Во многих приложениях наблюдается спокойное и свободное от шумов коллективное поведение холодной плазмы.

При изучении этой неустойчивости в численном моделировании необходимо использовать очень большое число частиц, чтобы наверняка быть уверенным, что линейное приближение не будет нарушено слишком большими флуктуациями и силами сеточного шума или что столкновения не подавят неустойчивость. Можно прийти в замешательство от того, на что все же похожа неустойчивость в плазме, обладающей уже максвелловским распределением по скоростям, и лишь догадываться, что именно это и вызывает раскачку колебаний. Они вызываются медленным нагревом плазмы. Это не запрещено, так как коды с сохранением импульса не сохраняют энергию. В программах с сохранением энергии (см. гл. 10) дестабилизирующий множитель равен единице, так что при дрейфе плазмы сквозь сетку не создается никаких неустойчивостей, вызываемых ею. Подтверждающие этот факт эксперименты с максвелловской плазмой были рассмотрены выше.

Главной характеристикой колебаний является связь плазменных возмущений с различными длинами волн. Это можно рассматривать как параметрическое взаимодействие, в котором пространственная сетка играет роль накачки с нулевой частотой, волновыми числами и их гармониками В результате плазменные возмущения, характеризующиеся совокупностью целое), связаны между собой и в дисперсионном уравнении мы имеем сумму по этим подмодам. Сила связи определяется и уменьшается с ростом порядка интерполяции.

Задачи

(см. скан)