11.4. МУЛЬТИПОЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРУГИХ АЛГОРИТМОВ
Здесь рассматриваются другие алгоритмы взвешивания частицы, которые также можно интерпретировать как мультипольные методы. Сначала покажем, что при помощи дипольного разложения вокруг точки, расположенной в середине между узлами сетки, можно получить знакомый одномерный алгоритм линейного взвешивания. Далее, с использованием разложения вокруг центра ближайшей ячейки будет выведен двухмерный дипольный алгоритм. Затем мы покажем, что взвешивание по площади представляет собой дипольную схему, в которой также учитывается ху — квадрупольный момент. Если
Рис. 11.5. Конструирование монопольных и дипольных моментов в центре ячейки 
при помощи добавления подходящих зарядов в четырех углах ячейки
верить мультипольной интерпретации, то можно с чистой совестью использовать линейное взвешивание или взвешивание по площади. В заключение высказываются некоторые соображения по созданию мультипольных алгоритмов, оптимизирующих точность и объем вычислений.
Построим монополь и диполь с зарядами в двух узлах сетки вместо трех. Для заряда 
расположенного в точке х между узлами 
монополь можно построить, разместив половинки заряда в каждый узел. Диполь получается прибавлением и вычитанием 
Дипольный момент 
с центром в 
должен равняться моменту частицы 
Результат
совпадает с используемым в ESI стандартным линейным взвешиванием! Гладкость здесь такая же, как и в улучшенной сокращенной дипольной схеме, и вычисления проводятся так же быстро (см. задачу 11.10).
В случае двух измерений построение монопольного и двух дипольных моментов, центрированных в середине ячейки, показано на рис. 11.5. Например, для узла 
к величине 
добавляется
Распределение заряда по четырем ячейкам вокруг 
имеет вид
(см. рис. 11.8). По сравнению с весовой функцией [Kruer et al., 1973] разрывы в рассматриваемом случае меньше, что позволяет повысить точность. Оказывается, что добавлением квадрупольного члена 
разрывы можно убрать (см. задачу 11.8), что приводит к обычному билинейному взвешиванию (см. рис. 11.8).
Соотношения (8.24), (8.26), следующие из (8.25) и (8.26), подчеркивают эти утверждения. Любое линейное взвешивание можно рассматривать как дипольный метод в одном, двух или трех измерениях. Кроме того, билинейное взвешивание включает в себя один квадрупольный момент (см. задачу 11.9).
Задачи
(см. скан)
