ГЛАВА 9. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОГО ШАГА ПО ВРЕМЕНИ

9.1. ВВЕДЕНИЕ

Здесь рассмотрены эффекты, связанные с использованием конечного временного шага В начале главы описана незамагниченная плазма, затем — замагниченная, а в конце главы рассмотрены некоторые другие схемы интегрирования по времени и проблемы больших временных шагов.

При численном моделировании плазмы методом крупных частиц алгоритм продвижения системы на один шаг по времени обычно подразделяется на две части: вычисление электромагнитных полей и сил, действующих на частицы, и расчет координат и скоростей частиц. В гл. 8 первая часть рассматривалась в предположении, что вторая выполняется точно в соответствии с дифференциальными уравнениями динамики Ньютона. В настоящей главе обсуждаются свойства конечноразностных уравнений, используемых для расчета движения частиц во времени. В большей части наших обсуждений мы возвращаемся для простоты к силам и полям, непрерывно зависящим от х. Однако результаты, полученные в гл. 8, объединены в § 9.5 для достижения точного описания эффектов дискретности времени и пространства. Это является предпосылкой развития количественной кинетической теории моделирования плазмы (см. гл. 12).

Различные авторы изучали различные аспекты интегрирования по времени как другими методами [Lindman, 1970; Godfrey, 1974], так и методами, изложенными в настоящей главе [Byers е. а., 1978]. В их работах рассматривались и полностью электромагнитные поля, и магнитоиндуктивное приближение Дарвина. Ниже довольно полно рассмотрен электростатический случай на основе работ [Langdon, 1970в, 1979в] и других источников.

Сначала мы получим выражение для диэлектрической проницаемости, представляющей отклик плазмы на возмущающие поля. Приравнивая ее к нулю, определяем дисперсионные зависимости и устойчивость свободных колебаний. Вывод всех соотношений дается двумя способами, которые иллюстрируют различные стороны и пределы изменения параметров. Анализ колебаний плазмы включает те же самые физические процессы, что и в классической задаче Ландау [Jackson, 1960], и наши результаты сводятся к результатам Ландау простым и корректным образом в пределе

Конечное значение приводит к простому изменению линейных дисперсионных соотношений. Для метода интегрирования с перешагиванием в случае незамагниченной модели плазмы мы покажем, что обычный резонансный знаменатель принимает вид

где В результате при малых корни дисперсионного уравнения сдвигаются вверх на как было показано выше, в гл. 4.

Периодичность по отражает тот факт, что частоты, различающиеся гармониками дают одно и то же изменение фазы за один шаг по времени

и, следовательно, эквивалентны с точки зрения разностных уравнений. Это — проявление стробоскопического эффекта, который «одурачивает» не только наблюдателя, но и динамику системы. Частоты называются налагающимися, потому что они — это различное обозначение для одного и того же явления.

В случае простых гармонических колебаний (см. гл. 4) при обычная схема с перешагиванием становится неустойчивой при Коллективные эффекты изменяют это условие на неравенство в случае максвелловского распределения скоростей. Именно поэтому в дисперсионном уравнении Бома — Гросса возрастает по сравнению с а не

из-за того, что частицы проходят большую часть длины волны за один шаг но времени. Однако никаких других нефизических неустойчивостей не возникает. Эти результаты вместе с изложенными в гл. 8 затем объединяются для совместного описания алгоритма, учитывающего пространственную и временную дискретность моделирования.

В замагниченной плазме (см. § 9.6) наложение циклотронных гармоник приводит к нефизической неустойчивости, вызванной конечным ларморовским радиусом, которая не проявляется при одночастичном описании или же в холодной плазме и, возможно, даже при максвелловском распределении.

В § 9.7 изложены три метода эффективного моделирования медленно меняющихся (по сравнению, например, с юре) процессов. В § 9.8 теория обобщается на целый класс схем интегрирования. Проанализирован ряд примеров и получены новые алгоритмы моделирования.