14.2. ДВУХМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА В ЦЕЛОМ

Здесь мы рассмотрим всю программу в целом. Детали отдельных ее частей обсуждаются ниже. Частицы имеют

координаты и скорости

Рис. 14.1. Типичная двухмерная прямоугольная сетка в плоскости у

Для получения полей из плотностей заряда и тока частиц используется показанная на рис. 14.1 пространственная сетка с узлами

Для того чтобы различать представляющиеся необходимыми детали и избежать численных неприятностей, размер сетки выбирается достаточно малым (для горячей плазмы, грубо говоря, необходимо выдерживать Достаточно высокая плотность частиц обеспечивает гладкое изменение плотности, а это значит, что на одну ячейку сетки приходится несколько частиц. Так же как и в частицы выглядят имеющими конечный размер, который автоматически возникает при взвешивании частиц на сетке. Редко применяемое взвешивание нулевого порядка является опять взвешиванием по методу ближайшего узла. Взвешивание первого порядка также представляет собой линейную интерполяцию и вследствие показанной на рис. 14.2 геометрической интерпретации в дальнейшем будет называться билинейным или взвешиванием по площади. Эти веса определяются выражениями

где постоянная в ячейке плотность заряда (площадь), а координаты х, у частицы отсчитываются от нижнего левого узла сетки вычисляются из полных координат частицы х, у). Плотности заряда во всех узлах сетки теперь определяют правую часть уравнения Пуассона

В конечно-разностном виде оно записывается на пяти узлах:

Решение этих уравнений с использованием подходящих граничных условий (периодических, замкнутых, открытых и т. д.)

Рис. 14.2. Распределение заряда для линейного взвешивания в Узлам сетки приписываются различные площади, т. е. при указанном расположении центра частицы площадь а приписывается узлу -узлу а интерпретация CIS; б - интерпретация при помощи билинейной интерполяции узел сетки; -частица)

приводит к значениям потенциала Поле получается из при помощи соотношения

В обычном двухточечном разностном виде, как показано на рис. 14.3, выражение для имеет вид

а разность для выглядит аналогично. Поля локализованы в тех же точках, что и потенциалы. Затем поля снова взвешиваются и вычисляются в точках расположения частиц: при линейном взвешивании для каждой компоненты поля в четырех ближайших узлах сетки и для каждой частицы используются те же веса, что и в выражениях (14.1). Наконец, так же как в гл. 4, один временной шаг завершается перемещением частиц от к и от х и к

При необходимости добавляются диагностики с двухмерными снимками типа контурных графиков плотности заряда или потенциала, что является логичным при работе более чем в одном измерении.

Так выглядит простейший подход. В двухмерных электростатических моделях, тем не менее, может возникнуть необходимость использования других координат, таких как цилиндрические или что определяется физикой или естественными граничными условиями, а также может быть шагом в направлении полной трехмерной модели с координатами Могут потребоваться высшие или низшие порядки взвешивания — их можно вывести из описанных ранее одномерных

моделей. В § 14.9 разбираются уравнения Пуассона и операторы градиента для цилиндрических сеток.

В дальнейшем обсуждаются отдельные части рассмотренного выше алгоритма, так же как точность конечно-разностного уравнения Пуассона, лучшие способы получения из граничные условия, взвешивание и эффективная форма частиц.

Рис. 14.3. Расположение величин относительно