10.5. АЛГОРИТМЫ, ВЫВЕДЕННЫЕ ИЗ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
Основной идеей является подстановка в точный лагранжиан приближенного представления полей и частиц. Это представление имеет конечный набор переменных, и обычный вариационный принцип обеспечивает вывод уравнений, управляющих этими переменными.
Для устранения сложностей в обозначениях мы будем использовать векторные координаты вместо обобщенных координат и рассмотрим только электростатические поля. В работе [Lewis, 1972] формально рассмотрен случай обобщенных координат и полного электромагнитного поля. В рационализованной системе единиц Хевисайда-Лоренца СГС [Jackson, 1975] лагранжиан имеет вид
Заменим 
интерполяционным потенциалом
Применение вариационного принципа к лагранжиану в виде 
дает уравнения Эйлера-Лагранжа
Второе уравнение имеет такой вид из-за того, что 
явно не входит в 
Это уравнение точно такое же, какое получается при использовании метода Галеркина для конечных элементов. С использованием соотношения (10.26) получаем
Уравнение (10.29) — обычное уравнение движения с точно таким же выражением для силы, как и (10.12), а именно с градиентом интерполированного потенциала, а не интерполированной первой производной потенциала. Связь этой характеристики с существованием сохранения энергии показана в § 10.3. В одномерном случае при линейной функции 
получим из (10.30) наипростейшую разностную аппроксимацию уравнения Пуассона. Однако в двух- или трехмерном случае итоговое разностное уравнение Пуассона не будет таким простым. В § 10.8 показано, что формула (10.30) дает правильную частоту колебаний холодной плазмы при любой длине волны! Она автоматически увеличивает гладкость при переходе к сплайнам более высокого порядка. Есть искушение считать, что эти алгоритмы моделирования должны быть в некотором смысле оптимальными. Для ответа на такой вопрос необходимо решить, какие свойства моделирования должны быть точными, и затем перейти от вариационного принципа к методам гл. 8 для анализа и приспособления алгоритма к этим требованиям. Например, в § 10.10 мы увидим, что для горячей плазмы формула (10.30) не является наиболее точной при определении частот колебаний. Это происходит из-за того, что горячая плазма менее чувствительна к коротковолновому шуму, чем к ошибкам на длинных и средних волнах. Вариационный принцип не может этого «знать». В системах, для которых такой анализ затруднен или лучшие алгоритмы трудны в применении, например при использовании криволинейных координат, вариационный принцип может быть полезным.
Задача
(см. скан)
