4.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТИЦАМИ И РАЗНОСТНОЙ СЕТКОЙ; ФОРМФАКТОРЫ
Использование пространственной сетки и интерполяции при расчете плотности заряда приводит к появлению зарядов, которые имеют ширину по крайней мере в одну ячейку сетки, как уже показывалось в § 2.6 (см. рис. 2.8 и 2.9). Это связано с
тем, что плотность заряда, потенциал и поле вычисляются в узлах сетки. Естественным следствием является то, что частицы никогда не ведут себя так, как если бы они имели нулевую толщину. Следовательно, разумно рассмотреть эффективную форму частиц через призму формфактора частицы 
(см. рис. 2.9) и Фурье-преобразование формфактора
Ниже кратко рассмотрены частицы конечных размеров без учета сеточных эффектов. В части II книги рассмотрены сеточные эффекты во всех деталях. Пока же просто отметим, что частицы имеют конечные размеры. Этот подход использован в работах [Langdon and Birdsall, 1970; Okuda and Birdsall, 1970).
Частицы имеют пространственное распределение заряда, двигаются как твердые тела без вращения или инерциального изменения объема и проходят свободно друг через друга. Естественно назвать такие частицы облаками. Взаимодействия системы облаков являются прямым обобщением взаимодействия точечных частиц; фактически, как отмечалось в гл. 1, это устраняет различия между кинетической теорией и классической электромагнитной теорией.
Плотность заряда в точке с координатами х от облака с центром в х изменяется от 
для точечной частицы до 
для облака, где 
полный заряд, определяемый соотношением 
Пусть 
и 
— плотности тока и заряда системы точечных зарядов, расположенных в точках 
тогда плотности 
для системы облаков, чьи центры совпадают с точечными частицами, определяются так:
Эти плотности облаков будут использоваться в уравнениях Максвелла для определения полей 
Сила Ньютона— Лоренца, действующая на облако с полным зарядом 
центром в точке х и скоростью 
равна
Соотношения (4.46) и (4.47) являются свертками, а поэтому приобретают очень простую форму после преобразования Фурье по координате
где
Условие нашего преобразования таково, что в пределе точечных частиц (радиус частицы или в длинноволновом пределе 
Размер облака по какому-либо критерию обозначим 
тогда 
становится малым для 
Формфактор 
не обязательно должен быть изотропным или симметричным. Однако здесь мы предположим, что функция 
изотропна. Следовательно, 
изотропная и действительная величина. Для асимметричных облаков единственным изменением в большинстве результатов будет замена 
на 
Используя соотношение (4.48), теперь легко получить большую часть результатов теории плазмы с малыми изменениями путем замены заряда 
на 
Например, тензор диэлектрической проницаемости для однородного газа облаков Власова и, следовательно, дисперсионные соотношения остаются неизменными, за исключением того, что квадрат плазменной частоты 
должен быть везде умножен на 
(один множитель 
возникает из уравнения движения, другой — из связи положения частицы с плотностью), т. е.
Этот результат можно рассматривать как зависящие от к плазменную частоту или заряд, когда проводят линейный анализ устойчивости в плазме, состоящей из облаков. До сих пор в книге встречались две формы, связанные со взвешиваниями первого и нулевого порядков (см. рис. 2.9), для которых преобразования формфакторов в одномерном случае имеют вид
Следовательно, наши первые соображения о дисперсии холодной плазмы таковы, как показано на рис. 4.6. Ниже мы увидим, что кроме пространственной сетки конечные разности вносят дополнительные изменения в дисперсионные зависимости.
При наложении однородного магнитного поля в нулевом приближении необходимо положить 
в формуле 
чтобы результаты не отличались от случая точечных частиц. Это свидетельствует о том, что при наличии в модели нескольких нелинейно взаимодействующих волн или при введении пространственной сетки нужно проявлять повышенную внимательность в случае одновременного описания нескольких пространственных зависимостей.
Задачи
(см. скан)
