Г. ПРЯМОЕ РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этом приложении мы получим решения одномерных (§ 2.5) и двухмерных (см. § 14.5) конечно-разностных представлений уравнений и

Пусть уравнение Пуассона записано в виде

где

Задача состоит в вычислении из и граничных или каких-либо еще (например, зарядовая нейтральность условий. Пусть система длиной до

Рис. Г.1. Нумерация сетки для ячеек

разделена на ячеек (рис. Коэффициенты образуют квадратную матрицу А, неизвестные величины образуют столбец а известные -столбец Следовательно, для нахождения нужно решить уравнение

В модели, ограниченной электродами, заданы значения Система необязана быть нейтральной по заряду. При для получения нужны величины с теми же значениями у. Матричное уравнение имеет вид

В этой системе неизвестное независимое уравнение. Следовательно, можно использовать любой метод решения (например, приспособленное для трехдиагональных матриц исключение Гаусса Простое решение рассмотрено в задаче

В периодической модели значения повторяются на расстоянии как отмечалось в § 4.11, полный заряд системы равен нулю:

При условии периодичности и т.д.) матричная система содержит одно лишнее уравнение из равенства нулю суммы в левой части следует, что набор из уравнений не является независимым. Опустим поэтому одно из уравнений системы, например с или В результате остается система

которая отличается от только левым столбцом. Подобные системы уравнений обсуждаются в работе [Temperton, 1975]. Мы не знаем величины но нам она и не нужна при перемещении частиц используется только Можно, следовательно, придать определенное значение (называемое смещением) и найти и тем самым Простейшее смещение — это при этом левый столбец А зануляется и система принимает вид Другой выбор смещения соответствует способу решения, принятому в -при этом Электростатическая энергия (модель периодична, зарядов на стенках нет)

не зависит от выбора смещения. Если в подставить решение имеющее вид то, поскольку

К потенциалам, вычисленным по расположенным на одном периоде зарядам, можно прибавить решение однородного уравнения Можно представить себе, что этот добавочный потенциал обусловлен равными и противоположными по знаку зарядами, расположенными при (или двойными слоями при ).

Но можно вычислять непосредственно интегрируя (см. § 2.14) от точки к точке (используя закон Гаусса):

При помощи правила трапеций для правой части получаем

Заметим, что задаются в одних и тех же узлах сетки, т. е. и -сетки не являются смещенными или переплетенными. Для полноты нужно задать то или иное граничное значение для [поскольку -дифференциальное уравнение первого порядка]. Например, в случае ограниченной пространственным зарядом эмиссии при следует выбрать Для

периодической модели необходимо, чтобы при этом, суммируя от до мы снова получаем Найти можно, положив сначала и применив Получившееся среднее поле

теперь уже не равно нулю. Если же мы хотим, чтобы поле равнялось нулю, то от каждого нужно отнять определяемую при помощи величину. Новые поля удовлетворяют уравнению и если снова вычислить то окажется, что Похожая процедура использовалась в работе [Denavit, Kruer, 1980], где сначала вычислялась величина

что обеспечивало а затем осуществлялась прогонка вдоль системы.

Таким же образом записываются конечно-разностные уравнения и для двухмерных задач. Если конфигурация допускает использование быстрого преобразования Фурье по одному из направлений, то система преобразованных уравнений трехдиагональна и ее можно решить при помощи исключения Гаусса или каким-либо еще методом. Уравнение Пуассона из § 14.5 имеет вид

Для модели, ограниченной электродами под фиксированными потенциалами исключение Гаусса можно осуществить следующим образом [Forsythe, Wasow, 1960]. Пусть источники (заданные) определяются соотношениями

Исключение вперед:

Обратная подстановка:

Разумеется, эта процедура работает и для уравнения Пуассона в когда (см. задачу Г.1).

Задачи

(см. скан)