6.4. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА

Численная устойчивость одномерного электромагнитного алгоритма моделирования плазмы исследовалась в работе [Godfrey, 1974] и с акцентом на численную черенховекую неустойчивость — в работах [Boris and Lee, 1973; Godfrey, 1975]. Эта неустойчивость возникает, когда дисперсия поперечной волны в вакууме, определяемая соотношением получается численными методами, давая обычно вблизи Такие фазовые скорости допускают взаимодействие волна-частица черенковского типа, являющееся нефизическим. В статье [Godfrey, 1974] конечно-разностная схема была неправильно приписана Ленгдону; в работе [Godfrey and Langdon, 1976] этот вопрос был пояснен и был проанализирован настоящий алгоритм Ленгдона — Даусона.

Основным приемом излагаемого здесь метода является численное интегрирование уравнений Максвелла на их вакуумных характеристиках. Это легко выполняется в одномерном случае, когда поперечные волны, приходящие справа и слева явно развязаны, в результате получаем соотношение

и аналогичное уравнение для Целые индексы относятся соответственно к времени и пространству. Единицы выбраны таким образом, что скорость света и плазменная частота равны единице. Заметим, что уравнение (6.11) требует выполнения равенства

Можно показать, что улучшенная устойчивость таких разностных схем связана в основном не с отсутствием дисперсии при вакуумном распространении волны, а с менее широко распространенными способами вычисления значений тока на сетке, используемыми в этих схемах. Так, в случае,

рассмотренном в работе [Godfrey, 1974], и определяется по формуле

где координатная интерполяционная функция, -ток частиц; и -координата и скорость частицы. Другими словами, токи интерполируются на сетке по координатам частиц в моменты времени и скоростям., взятым при а затем усредняются для получения Основным эффектом такого определения является сглаживание токового члена в дисперсионном соотношении для уравнения (6.11) множителем, зависящим от скорости в виде Для больших скоростей множитель подавляет нефизические эффекты при к вблизи Кроме того, он также искажает физические явления в этой области волновых чисел. Этот недостаток, однако, был преувеличен в работе [Godfrey, 1974]. Для любого алгоритма, а не только для этого, необходима осторожность в интерпретации поведения мод при больших k. Такое определение успешно использовалось в двух- и трехмерных электромагнитных кодах и статьях [Langdon and Lasinski, 1976; Boris, 1970].

Настоящая разностная схема Ленгдона определяет сеточный ток не по формуле (6.12), а из соотношения

Ток усреднен вдоль вакуумной характеристики, а не по фиксированным точкам пространства.

Для холодного пучка, состоящего из частиц одного сорта с малыми скоростями токовый член в электромагнитном соотношении умножается на характерное для многих разностных схем выражение, уменьшающее его вклад. Оно имеет вид или, что то же самое, в силу условия Этот множитель сглаживает влияние тока на коротких длинах волн независимо от скорости, и все вычислительные проблемы, возникающие из-за пересечения (связи) дисперсионных кривых электромагнитных волн и пучка вблизи к исчезают. При больших скоростях пучка дисперсионные кривые в этой задаче раздвигаются и нет никакой неустойчивости даже при скорости пучка, равной с.