16.4. ЗАГРУЗКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ниже рассмотрены распределения Максвелла или Гаусса по вида Подобные распределения появляются во многих областях физики и обычно являются устойчивыми. Следовательно, необходимы методы создания распределения Гаусса по координатам или скоростям. Полезную информацию

Рис. 16.1. Нормализованное тепловое распределение по скоростям

Рис. 16.2. Средняя скорость полученная при помощи генератора случайных чисел (16.10) при для Частиц. Нужное значение равно нулю

общего характера по этому вопросу можно найти в книге [Hammersley, Handscomb, 1964].

Нормализованное тепловое распределение изображено на рис. 16.1. Большинство частиц имеют скорость (на самом деле 99% из них имеют скорость меньше так что размещать частицы со скоростями, большими или приходится редко.

Получим набор для пространственно однородной плазмы с изотропной гауссовой функцией распределения Для того чтобы получить необходимо приравнять интегральную функцию распределения

набору однородно распределенных чисел принимающих значения от до 1.

Для одномерного теплового распределения интеграл от явно не вычисляется, однако для создания «спокойного максвелловского распределения» с тепловой скоростью интеграл можно вычислить численно (INIT в ESI, см. § 3.6).

Для двухмерного изотропного распределения [имеются две скорости скорость и угол дифференциал т. е. интегралы вычисляются. Скорости выражаются через (с заменой на ):

Для выбора значений в диапазоне от до используется другой однородный набор чисел причем Можно также использовать метод Бокса и Мюллера [Hammersley,

Handscomb, 1964], в котором величина умножается на синус или косинус и получаются независимые распределения Гаусса по Вычисления синусов и косинусов можно избежать, применяя технику фон Неймана [Hammersley, Handscomb, 1964); для создания однородного распределения по углам используются однородные наборы чисел

причем пары с отбрасываются, а знак либо выбирается случайно, либо выбирается из интервала

Одна выборка имеет вид

а вторая с теми же вид

Другой способ заключается в непосредственном использовании набора случайных чисел лежащих в интервале от нуля до единицы; при этом величина

распределена нормально (по Максвеллу, по Гауссу) [АЬгаmowitz, Stegun, 1964; Hammersley, Handscomb, 1964]. Этот метод также используется в в ESI для создания случайного распределения Максвелла с тепловой скоростью при этом Метод проверил Нейл Марон который вычислил скоростей с (рис. 16.2); заметим, что простой результат для (эта величина должна быть равной нулю, а оказывается примерно равной не уникален — величины для любых на несколько процентов отличаются от единицы. Теоретическая скорость при весьма маловероятна, и наблюдавшаяся оказалась намного меньше. Заметим, что при больших функция спадает быстрее, чем распределение Гаусса.

Пусть координаты частиц, скорости которых были найдены выше, выбираются так, чтобы плазма была однородной в х-пространстве. Если выбранные в каком-либо смысле упорядочены, то соответствующие следует размешать. Можно выбрать координаты частиц, движущихся со скоростями, описываемыми формулами (16.9) или (16.10) и равными -случайная величина); можно также

использовать числа с обращенными разрядами, описанные в связи со спокойными стартами в следующем параграфе.

Разумеется, величины должны быть нескорелированными. Использование генераторов случайных чисел для вычисления приводит к нежелательной группировке частиц (т. е. к корреляции) в пространстве

Описанные выше методы довольно грубы, и их можно модифицировать. Наши методы не позволяют распределять частицы по таким образом, чтобы возникла дебаевская экранировка, — она появится после того, как программа некоторое время поработает (примерно от до После использования случайных следует скорректировать низшие моменты распределения. В работе [Morse, Nielson, 1971] частицы в каждой ячейке размещались так, чтобы их суммарный импульс равнялся нужному значению, например нулю в максвелловском случае. Можно пойти дальше [Gitomer, 1971] и, используя средние по нескольким ячейкам, контролировать второй момент. Однако, даже если использованы эти и другие модификации, уровень шумов при моделировании , что обычно намного больше, чем в лабораторной плазме, так как где число частиц в ячейке. Если исследуются слабые эффекты, в частности линейное начало неустойчивостей, необходимо использовать другие методы. Одним из них является описываемый ниже спокойный старт.

Задачи

(см. скан)