9.3. АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ СУММИРОВАНИЯ ПО ТРАЕКТОРИЯМ ЧАСТИЦ

Поучительно вновь рассмотреть данную проблему методом суммирования, аналогичным интегрированию, по предшествующим значениям ускорения, взятым вдоль невозмущенных траекторий. Этот подход приводит к пониманию предела больших («памяти» системы), роли перемешивания фаз и приоткрывает различие между методом с перешагиванием и

другими схемами, которые содействуют выводу дисперсионного уравнения и обосновывают классификацию, приведенную в § 9.8.

Для того чтобы выразить через используем импульсный отклик: отклонение вызванное импульсом равно Суммируя по всем предыдущим импульсам, получаем

Предполагая, что силовое поле изменяется по формуле (9.2), получаем

где и сумма сходится при Определим, как и выше, плотность заряда и затем диэлектрическую проницаемость.

Выполняя затем интегрирование выполним Фурье-преобразование в пространстве скоростей

где

Для максвелловского распределения по скоростям и ряд сходится при любом комплексном Это выражение не требует аналитического продолжения. При сумма переходит в интеграл и выражение (9.25) в случае максвелловского распределения корректно сводится к такому виду:

Соотношение (9.28) можно преобразовать до полного квадрата в подынтегральном соотношении и выразить через комплексную функцию ошибок.

Если сначала выполним суммирование простой геометрической прогрессии в (9.24), получим следующий результат:

Подстановка в (9.24) дает выражение (9.15) (см. задачу 9.4).

Скорость сходимости ряда (9.24) определяет, как долго значение силового поля в данный момент влияет на плотность заряда, т. е. временную память. При заданном со память короче (сходимость быстрее) при больших Конечно, возмущение не затухает и может нарастать, только его вклад в значение уменьшается при усреднении по гладкому распределению в осциллирующем поле. Этот процесс хорошо известен в физике плазмы и называется «фазовым перемешиванием» (см. задачу 9.36).

Уравнение (9.24) является степенным рядом по его усечение дает полином от В случае максвелловского распределения при сохранении достаточного числа членов добавление новых слагаемых приводит к появлению дополнительных корней малой величины (сильное затухание) без существенного изменения больших по модулю корней. Таким образом, мы возвращаемся к бесконечному числу корней, ожидаемых в случае непрерывного изменения времени [Jackson, 1960].

Полезно рассмотреть изменение соотношений (9.25) и (9.15) для других разностных схем. Рассмотрим схему из работы [Feix, 1969]:

В этом случае (задача 9.6)

Второе слагаемое соответствует результату метода с перешагиванием. Эти схемы различаются только связью со значением в предшествующий момент времени. Отличие от вида (9.15) и (9.25) заключается в следующем:

Существование такого вида связи между методом с перешагиванием и некоторыми другими методами второго порядка точности по объясняет их классификацию в § 9.8.

Задачи

(см. скан)