ГЛАВА 1. ВОЗМОЖНО ЛИ ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ с помощью ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

Идея получения более или менее правильного физического описания плазмы с помощью использования компьютера для вычисления взаимодействия между заряженными частицами пришла в голову одновременно нескольким ученым: знаменитому Джону Даусону в Принстонском университете и Оскару Бунеману в Кембриджском университете США в конце 50-х — начале 60-х годов. Известно, что на протяжении всех 50-х годов было выполнено много работ по моделированию электронных пучков в вакуумных приборах с помощью крупных частиц, так почему бы не попробовать моделировать плазму? Вначале было неясно, будет ли успешным переход от моделирования холодных пучков, состоящих из зарядов одного знака, к моделированию теплового распределения зарядов противоположных знаков с равной плотностью. Какие могут возникнуть при этом трудности?

При моделировании электронного пучка есть основания полагать, что вычисления останутся верными, если даже использовать относительно малое число крупных частиц,

например 16 или 32 частицы на длину волны. Эти частицы обычно представляют собой диски диаметром, равным диаметру пучка (как пуговицы, нанизанные на нитку, за исключением небольшого числа частиц, которые при движении обгоняют друг друга), и их движение рассчитывается компьютером в процессе их взаимодействия с СВЧ-цепями (например, объемными резонаторами или замедляющими структурами) на протяжении пяти или десяти длин волн. Всего используется 10 совокупностей по 16 или 32 крупные частицы, и их движение рассчитывается, например, за время от 10 до 20 периодов (несколько сотен временных шагов), начиная от стадии линейной модуляции до нелинейного насыщения. Когда компьютеры стали легко программируемыми, такое моделирование стало довольно простым делом, причем моделирование достигает цели с использованием малого числа частиц, потому что поле одного электрона действует на большую часть всех электронов; длина коллективного взаимодействия сравнима с размерами электронного прибора.

При моделировании нейтральной плазмы необходимо вспомнить, что такое дебаевский радиус. Этот радиус связан с плазменной частотой пропорциональной квадратному корню из плотности плазмы, соотношением

где расстояние, проходимое частицей с тепловой скоростью за часть плазменного периода, или длина экранирования поля в плазме вокруг пробного заряда, т. е. масштабная длина, в пределах которой сильно проявляются эффекты непосредственного взаимодействия между отдельными частицами и вне которой преобладают коллективные эффекты взаимодействия частиц. Напомним, что плазма представляет интерес на расстояниях, много больших т. е. Для чтобы в пределах длины коллективного взаимодействия было достаточно много частиц, как в электронных приборах, следует ввести значительно большее число крупных частиц при моделировании нейтральной плазмы. Хотя некоторые элементарные определения приведены в книге, не все сведения по физике плазмы, необходимые для понимания, будут в ней приведены; книга является дополнительной по своему характеру к обычным книгам по физике плазмы.

В литературе часто приводятся графики зависимости плотности (от до от энергии (от 0,01 до с линиями постоянного числа частиц в дебаевской сфере:

Хотя в очень плотной плазме может иметь малое значение, мы увидим, что в плазме паров щелочных металлов в

ионосфере Земли а в плазме термоядерного синтеза с магнитным удержанием Моделирование такой плазмы в ближайшем будущем не представляется возможным.

Таким образом, может показаться, что моделирование плазмы невозможно, так как требует на много порядков величины большего числа частиц, чем может обрабатывать любой существующий компьютер.

Необходимо преодолеть эту трудность, иначе будет потеряна возможность описать общий характер процессов в плазме. Во-первых, мы собираемся интересоваться коллективными явлениями в бесстолкновительной плазме при длинах волн больших, чем дебаевский радиус Во-вторых, мы постараемся получить много полезной информации для одного и двух измерений, когда нет необходимости удовлетворять трехмерному требованию, т. е. а достаточно ограничиться одномерным или двухмерным . В-третьих, можно изменить моделирование так, чтобы использовать меньшее значение но сохранить самое существенное в поведении плазмы. Модели, которые будут использованы ниже, предназначены для описания процессов в плазме без учета всех малозначительных деталей.

Обсудим более внимательно только что сделанные утверждения. Конечно, бесстолкновительная лабораторная плазма характеризуется условиями Однако физическое поведение плазмы обусловлено движением электронов и ионов в самосогласованных кулонбвских полях с кинетической энергией, достаточной для предотвращения их рекомбинации. Следовательно, другой важной характеристикой является следующее отношение:

где КЕ — тепловая кинетическая, а РЕ — микроскопическая потенциальная энергия плазмы. Это отношение для лабораторной плазмы равно Однако из чисто физических требований достаточно выполнения условия что может быть достигнуто при или может быть при необходимости обеспечено другими средствами, без требования Вторая важная характеристика плазмы — это ее бесстолкновительность, которая также связана с соотношением

Это условие также может быть выполнено при или достигнуто без выполнения требования Третье условие во многих задачах может быть реализовано в результате использования периодических моделей, которые можно представить как отрезки бесконечной плазмы; используют, например, длину Ниже обоснована правомерность моделирования горячей плазмы при малых или малых отношениях Исследования физики холодной плазмы (например,

ленгмюровских колебаний с частотой и заряженной плазмы (плотность ионов не равна плотности электронов в нулевом порядке) также показывают, что моделирование с помощью крупных частиц является весьма перспективным.

Что мы подразумеваем под словами без выполнения требования В изложенных методах моделирования мы, во-первых, редко сохраняем рассмотрение взаимодействия вплоть до исчезающе малых расстояний между зарядами. Дело в том, что в случаях столкновительные параметры всегда довольно велики даже для Более того, в одномерном случае столкновения имеют иную природу, хотя в модели выполнение условия не представляет труда. Так, если для упрощения вычисления полей мы используем пространственную сетку, то поля и силы при длинах, меньших чем ячейка сетки, становятся ненаблюдаемыми и их можно рассматривать как полностью сглаженные. Можно создать еще большее сглаживание такими средствами, как отбрасывание сил при коротких длинах волн (большие волновые векторы, или не учитывать плотность заряда, потенциалы и силы при больших значениях k. Во-вторых, можно сознательно изменить описание процессов для того, чтобы достичь выполнения условия или или обоих условий сразу. Например, при рассмотрении лабораторной плазмы частицы обычно считают точечными, взаимодействующими между собой с силами, изменяющимися с расстоянием пропорционально или в случаях и Возникающие при этом кулоновские сингулярности в случаях (их нет в одномерном случае) можно устранить использованием частиц конечных размеров — понятие, используемое задолго до моделирования плазмы; например в работе [A. A. Vlasov, 1950], автор которой назвал свои частицы облаками, как это сделано и в этой книге. Ниже приведены следствия введенных выше предложений.

1. Частицы конечных размеров получаются естественным образом, если используется пространственная сетка.

2. Если радиус частицы конечных размеров становится сравнимым с дебаевским радиусом или большим него, то поперечное сечение о и частота столкновений быстро уменьшаются по сравнению со случаем точечных частиц в

3. Существует некоторая свобода для задания формы частиц и способа взвешивания сил относительно пространственной сетки для получения желаемых результатов в какой-либо задаче моделирования (применимых к одной, но, возможно, не применимых к другой задаче).

Таким образом, мы моделируем плазму со значительно

меньшим числом частиц, чем то, которое находится в реальной, интересующей нас лабораторной плазме. В результате мы имеем дело с относительно высоким вкладом столкновительных процессов, но не сор (и большим изменением роли столкновительных процессов в зависимости от параметров), и довольно высокими уровнями шума (крупные частицы могут иметь то же самое отношение заряда к массе, что и в лабораторной плазме, но сами много больше), а потому мы не способны исследовать все возможные временные и пространственные масштабы плазменных явлений (все частоты и волновые векторы к).

Альтернативой моделированию с использованием крупных частиц является интегрирование бесстолкновительного кинетического уравнения Власова, которое рассматривает фазовое пространство как континуум (сплошную среду), что также является приближением. Этот подход действительно устраняет статистические ошибки, присутствующие в методике макрочастиц, и весьма успешно используется в исследованиях. Однако моделирование с помощью уравнения Власова не настолько обосновано, чтобы его можно было легко перестраивать применительно к особенностям конкретных задач подобно методу крупных частиц, особенно в многомерных задачах, и беспристрастное, точное, достаточно экономичное представление пространства скоростей представляет значительные трудности при моделировании длительных процессов.

Мы проводим моделирование только в пределах ограниченных времени и области пространства и, таким образом, можем мириться с малыми погрешностями. Мы даже используем в расчетах соотношение масс иона и электрона около 100 вместо 1836 (протон/электрон), иногда замораживаем движение нейтральных или фоновых частиц и вводим линейную восприимчивость например для горячих электронов. Может оказаться, что конечные временные и пространственные сетки могут сами по себе создавать волны и даже неустойчивости, являющиеся нефизичными и, следовательно, нежелательными. Эти неприятности могут быть устранены или учтены при внимательном анализе используемых вычислительных моделей. По поводу же остаточных погрешностей можно лишь сказать, что такие имеются и в эксперименте, и в теории.

Эта книга предназначена для тех, кто желает освоить численное моделирование плазмы с помощью метода крупных частиц или продвинуться дальше в понимании и использовании его тонкостей. В этом читателю помогут многочисленные примеры и задачи, описывающие встречающиеся на практике проблемы.

Элегантное обоснование проведению компьютерных экспериментов, использующих модели макрочастиц применительно не только к физике плазмы, но и к множеству других областей физики, можно найти в работе [Hockney and Eastwood, 1981].