15.13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Пространственная сетка для уравнений Максвелла в координатах описана в работе [Boris, 1970]. В работе [Palevsky, 1980] рассмотрены как координаты так и . Годфри [Godfrey] использовал более общие криволинейные координаты. Ниже электростатические вычисления (см. § 14.10-14.12) обобщаются на случай электромагнитного кода в координатах.

Прежде всего, переписав уравнения из § 14.10, введем компактное обозначение, удобное в более сложном случае электромагнитного поля. Из (14.69) следует, что дивергенция равна

где индексы соответствуют координатам а действие операторов описывается выражениями

Аналогично

Так же как выражения для дивергенции получаются после применения теоремы Гаусса к некоторым объемам, выражения для ротора получаются при помощи теоремы Стокса для интегралов по определенным кривым. Из интеграла от по прямоугольнику в плоскости (см. рис. 14.18) имеем

Эти разностные выражения тождественно удовлетворяют соотношению (см. задачу 15.12).

Компоненты равны (см. задачу 15.13)

Полученные выражения удовлетворяют тождеству для (см. задачу 15.14).

Наконец, часто бывают нужны разностные выражения для Поскольку оператор действует на единичные векторы , величины не равны. Тем не менее зависит только от что можно отразить, записав разностное уравнение в точке

где первые два члена соответствуют Похоже выглядят и и -компоненты.

При перемещении частиц вычисляются токи и заряды а не плотности Это позволяет, так же как и в § 14.10, организовать выполнение законов сохранения. Однако остается важная тонкость: в § 14.12 мы обсуждали вращение, осуществляемое после перемещения частиц. Чтобы избежать погрешности в направлении возникающей из-за соответствующего вращения, в первой (второй) части (15.25) следует использовать до (после) вращения. В кодах Дарвина вычисление из неправильно повернутых может приводить к макроскопическому накоплению фиктивного углового момента [Hewett, 1983].

Задачи

(см. скан)