15.12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ПРОВОДЯЩЕЙ СТЕНКЕ

В дальнейшем обсуждаются периодические по у системы с идеально проводящими стенками при Более общие

формы границ, типа применяемых в магнетронах, рассмотрены в работе [Palevsky, 1980].

Рис. 15.8. Двухмерная сетка на проводящей стенке

Замыкание уравнений Максвелла на стенке. Для интегрирования по времени уравнений Максвелла необходимы граничные условия только на тангенциальную компоненту Е:

при и аналогично при где и А обозначают узлы сетки по х и у. На рис. 15.8 изображены места определения полей. Второй порядок точности и центральность схемы достигаются усреднением Этих граничных условий достаточно для замыкания разностных уравнений Максвелла.

Если разностная схема для уравнений Максвелла определена так же, как в § 15.2, то поток тангенциальной компоненты В сохраняется точно:

Кроме того, через любую поверхность магнитный поток постоянен:

Из-за зависимости от времени уравнения возникает дополнительное граничное условие [или, возможно, функция, возникающая из-за более медленного включения поля В при помощи внешних токов]. Таким образом,

Это граничное условие не нужно для замыкания системы уравнений.

Полная энергия электрического поля

При помощи (15.65) и (15.73) (см. ниже) можно показать, что энергия поперечного электрического поля

неотрицательна.

Электростатические решения в Рассмотрим решение уравнения — для электростатического потенциала при помощи стандартного пятиточечного шаблона (см. § 14.2). Преобразование Фурье по у дает величины где номер гармоники по у, причем может быть равно нулю. Так же как в § 14.6, уравнение Пуассона принимает вид конечно-разностного уравнения по х. Граничные условия на идеально проводящей стенке имеют вид т. е. стенки при являются эквипотенциалями: для любых При имеем

где поверхностные заряды на стенках добавляются к зарядам, возникающим на стенках при взвешивании. Плотность поверхностного заряда на границе зависит от левой границе поверхностный заряд на одном периоде по у равен

на правой границе заряд получается аналогично.

Теперь при помощи шаблона из одной ячейки для наилучшего с точки зрения сохранения заряда [гауссов ящик с центром в точке а вычисляется в точке в точке в центрах ячеек вычисляются электростатические поля

Величины определяются зарядом активных частиц; часть заряда оказывается при Полный заряд системы на периоде при равен

Полный же заряд поскольку внутри проводящих стенок электрического поля нет и тем самым его поток через поверхность, охватывающую равен нулю. Ток во внешней цепи переносит заряд от которые изменяются по мере того, как рождаются и поглощаются активные частицы (см. гл. 16). Таким образом, полный заряд остается постоянным (равным нулю) и соотношения (15.66) и (15.67) оказываются лишними, т. е. для однозначного определения необходимо какое-то другое условие.

Недостающим условием является соглашение об аддитивной константе в Пусть левая стенка заземлена:

Решение (14.18) с учетом (15.66) или (15.67) позволяет определить всюду. Найти это решение можно, введя Фурье-компоненту поля с

при помощи которой получаем

Поле вычисляется при прогонке слева направо уравнений (15.72а), (15.726), после этого при помощи (15.71) находятся

Энергия электростатического поля равна

С учетом равенства (15.69) не зависит от произвола в (15.70).

Совмещение вычислений для частиц и полей. Вычисление корректирующего продольную часть потенциала (§ 15.6) производится точно так же, при этом источник в (15.32) не изменяется, за тем исключением, что на стенках вычисляется с учетом Эту процедуру просто контролировать, применив ее дважды; во второй раз должно обратиться в нуль.

Можно определить зависимость поверхностных зарядов от у, что используется, например, для контроля излучения

(см. гл. 16). Применяя закон Гаусса к любой ячейке на левой стенке, получаем

Закон Гаусса, примененный к поверхности на одном периоде по у, приводит к соотношению

Здесь использовано соотношение (15.68).

Так же, как и в § 15.5, для удобства интегрирования и диагностики поля усредняются в пространстве и вычисляются в тех же точках, что и Перед следующим интегрированием уравнения Пуассона восстанавливаются исходные неусредненные поля.

Значения полей на стенках вычисляются из (15.59), (15.60) и (15.64). Для получения следовало бы взять среднее от но если, так же как и при вычислении поправок к последняя величина равна нулю, то нельзя описать даже простой случай заряженного конденсатора без свободных зарядов, в котором постоянно. Вместо этого положим Таким же образом поступим и с Если в граничных ячейках есть свободные заряды или токи а или не равны нулю), то можно поступать по-разному, в зависимости от того, нужно ли нам учитывать коллективное поведение в этих ячейках и насколько хорошо это следует сделать. Для различные возможности включают в себя:

Все это при переходит в упомянутый выше случай без свободных зарядов: в способе (а) при «рождении» частицы около стенки и продвижении ее в глубь среды все величины изменяются гладко, тогда как в способах (б) и (в) при эмиссии частицы возникает скачок поверхностной плотности. Если поток однороден по у, то способ (б) приводит к правильному закону притяжения частиц в крайних ячейках к эмиттирующей стенке, тогда как в способе (а) притяжение слишком мало, а в способе (в) велико.