2.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ, ОПИСЫВАЮЩИМИ ЧАСТИЦЫ, И РАЗНОСТНОЙ СЕТКОЙ; ВЗВЕШИВАНИЕ СИЛ И ЧАСТИЦ
Плотность заряда и напряженность поля определены в дискретных узлах сетки, а координаты частиц, использующиеся при их вычислении, являются непрерывными функциями. Необходимо также определять силы, действующие на частицы, по их значениям в узлах сетки. На рис. 2.3 эти вычисления вызваны взвешиванием, которое предполагает некоторую форму интерполяции по сеточным узлам, ближайшим к частице. Как показано ниже, желательно использовать один и тот же способ взвешивания для плотности и вычисления сил, чтобы устранить действие частицы саму на себя (например, самоускорение частицы).
Во взвешивании нулевого порядка мы просто подсчитываем число частиц в пределах интервала 
(ширина одной ячейки) около 
узла сетки и присваиваем это число [называя его 
узлу, т. е. сеточная плотность (в одномерном случае) просто равна 
Это проиллюстрировано на рис. 2.8, а. Для такого способа взвешивания используется наименование к ближайшему узлу сетки или NGP. При численной реализации подсчет очень быстр, так как выполняется просмотр только одной ячейки. Электрическое поле, используемое при расчете силы, берется в точке X- одинаковым для частиц в 
ячейке.
Когда частица приходит в 
ячейку (через границы ячейки при 
сеточная плотность благодаря этой частице скачком возрастает, а при уходе частицы 
или 
сеточная плотность скачком уменьшается. Плотность, наблюдаемая в 
узле, показана на рис. 2.8, б. Так мы имеем два эффекта. Один из них состоит в том, что частицы
Рис. 2.8. Взвешивание полей и частиц в нулевом приближении NGP. Частицы в 
ячейке с координатами 
приписываются к узлу 
для получения сеточной плотности 
На все эти частицы действует поле со значением 
плотность 
в точке X, создана частицей в 
когда частица проходит через ячейку с центром в 
Эту плотность можно интерпретировать как эффективную плотность частицы
Рис. 2.9. Взвешивание первого порядка, или модель «облако в ячейке» 
Стандартная заряженная частица конечных размеров, или облако, имеет ширину в одну ячейку с центром в х. Это взвешивание помещает часть облака, которая находится в 
ячейке, в 
(часть а) и другую часть, которая находится в 
ячейке, в 
(часть 
Это взвешивание можно считать применением метода NGP к каждой части элемента. Сеточная плотность 
в точке х, при прохождении через X, показывает эффективную форму частицы 
кажутся нам имеющими прямоугольную форму с шириной 
Это означает, что мы имеем набор частиц конечных размеров, следовательно, наблюдаемые физические эффекты будут проявляться именно для таких, а не точечных частиц. Введение частиц конечных размеров влияет в основном на описание процессов столкновения, оставляя без изменения основные закономерности физики плазмы. Второй эффект — появление скачкообразных изменений плотности заряда и электрического поля при прохождении частицы через границу ячейки, приводящих к заметным шумам в пространстве и времени; этот шум может быть недопустим во многих плазменных задачах.
Взвешивание первого порядка сглаживает флуктуации плотности и поля, что уменьшает шум (относительно взвешивания нулевого порядка), но требует дополнительных вычислительных затрат при добавлении двух узлов сетки для каждой частицы дважды на шаг. Можно рассматривать этот шаг как улучшение использования частиц конечных размеров или как лучшую интерполяцию. Заряженные частицы выглядят облаками конечных размеров, которые могут проходить друг через друга. Такая модель называется «облако в ячейке» или CIC [Birdsall and Fuss, 1969]. Если взять опорное облако однородной плотности шириной 
как показано на рис. 2.9, а (так называемое квадратное облако), то сеточное присвоение
выглядит очевидным: используется метод NGP для каждого элемента. В этом случае для полного заряда облака 
часть, задаваемая в 
узел, определяется формулой
а часть, задаваемая в 
узел, формулой
В результате получаем треугольную форму частицы 
с шириной 
При вычислениях ближайший сеточный узел с номером 
расположен с левой стороны от частицы, так что всегда выполняется условие 
Сначала вычисляются веса, а затем производится распределение заряда по узлам сетки. Заметим, что к такому же результату приводит распределение точечного заряда по ближайшим узлам по формулам линейной интерполяции. Эта точка зрения называется моделью «частица в ячейке» или 
Когда облако движется через сетку, оно дает вклады в плотность намного более гладко, чем взвешивание нулевого порядка, как это видно из рис. 2.9, б, следовательно, результирующая плотность будет более приемлемой для большинства задач по моделированию плазмы.
Взвешивания более высоких порядков, использующие квадратичные и кубичные сплайны, еще более сглаживают неровности формы частицы и уменьшают шум поля и плотности, но ценой большего числа вычислений. Использование сплайнов для взвешивания более высоких порядков обсуждается ниже. Например, эффективная форма частицы может изменяться в процессе вычислений поля после Фурье-преобразования 
отбрасыванием 
при некотором к или умножением 
на 
Взвешивание поля и силы выполняется точно так же.
В методе NGP сила получается из значения поля в ближайшем узле сетки. Сила первого порядка 
получается линейной интерполяцией, точно так же, как распределение заряда; для частицы в точке 
значение поля дается формулой
Взвешивание первого порядка требует. большего машинного времени на частицу, чем взвешивание нулевого порядка, однако для заданного уровня шума 
допускает как более грубую сетку, так и меньшее число частиц, чем 
таким образом, экономит время компьютера, требуемое на одну частицу. Мы увидим также, что взвешивание и сглаживание более высоких порядков способствуют уменьшению нефизических эффектов.
