5.2. СВЯЗЬ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ РАЗНЫХ ВЕЛИЧИН В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Из теории обычно известно задание начальной плотности заряда или частиц, однако для начала работы программы необходимо задать начальные координаты и скорости всех частиц. Следовательно, для синусоидального возбуждения волны малой амплитуды нужно на основе известной плотности частиц определить их координаты и затем при задать все величины с соответствующими фазовыми и амплитудными соотношениями.

Положение частиц будем описывать координатами Рассмотрим две соседние частицы с координатами как показано на рис. 5.1. В одномерном случае однородной плазмы частицы имеют координаты и в нулевом приближении плотность частиц определяется выражением

Зададим возмущение начальных значений координат в виде

так что при некотором новая плотность будет равна

Другой подход состоит в рассмотрении в нулевом порядке некоторого количества жидкости между точками Тогда Так как порядок несуществен, заменим на Для того чтобы иметь возможность рассматривать несколько элементов жидкости, одновременно находящихся в точке х, будем вычислять как сумму Пусть отклонение положения частиц, от однородного является непрерывной переменной, которую можно рассматривать как смещение элемента жидкости

Тогда для имеем соотношение

Предполагая, что заданы, а отыскивается, получаем

Мы можем определить некоторую меру малости возмущения, замечая, что частицы соприкасаются при

Рис. 5.2. Однородные положения частиц вместе с их синусоидально возмущенными положениями (точки), полученными по формуле Наиболее близки к касанию (и пересечению) точки 3 и 4, где имеет наибольшее отрицательное значение: они касаются при очень близко расположенных частиц, т. е. при большом числе частиц на длину волны возмущения). Можно рассмотреть как элемент жидкости, размещенной на интервале

давая пик плотности (рис. 5.2). Если мы интересуемся малосигнальным возбуждением, т. е. то

В трехмерном случае соотношение (5.9) записывается в виде вывод приведен в §9.2.

Пусть возбуждение является периодическим, синусоидальным по х

с возмущенной плотностью заряда

Предположим, что либо А, либо известны, так же как и k. Тогда смещение получается интегрированием (5.9) в виде

Возмущенное электрическое поле определяют из уравнения также интегрированием по

Наконец, потенциал дается интегрированием напряженности поля или находится из уравнения

Эти соотношения показаны на рис. 5.3 с амплитудами относительно начального возмущения плотности соответствующими фазами. Возвращаясь назад от малого начального смещения

получаем максимальную плотность частиц

с максимальным значением поля

Рис. 5.3. Приведены малые возмущения по плотности с амплитудой А, возмущения в координате поле и потенциале с относительными амплитудами

максимальным ускорением

и максимумом потенциала

Из этих соотношений находим пиковое значение электростатической энергии:

Для горячей плазмы, имеющей в нулевом приближении плотность кинетической энергии

получаем в первом приближении теории возмущения отношение средних значений и в виде

Ответ выглядит просто, но его необходимо правильно интерпретировать.

В процессе развития неустойчивости поле нарастает до некоторого значения соответствующего величине и обычно выполняется условие

где величина, меняющаяся в пределах от 0,1 до 0,01. Если мы хотим наблюдать за развитием неустойчивости начиная с

малых амплитуд, когда применим линейный анализ и можно сравнить данные моделирования с теоретическими значениями инкрементов, то начальная энергия поля должна составлять примерно конечного ее значения, откуда следует, что

или грубо приближенно

Иначе говоря, для горячей плазмы с использованием соотношения (5.22) имеем

В случае холодной плазмы, например холодного пучка со скоростью написанные выше соотношения будут справедливы, если заменить на величину Способ оценки описываемый соотношениями довольно приближенный, но это все же лучше, чем не иметь никаких оценок.

Задачи

(см. скан)