8.3. ОСНОВНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ

Ниже приведены некоторые общие соображения о плазменных системах с пространственно неоднородными силами взаимодействия, которые предполагаются периодическими и зависящими от времени. В § 8.4 рассмотрена проблема сетки; настоящий общий раздел не служит предпосылкой к остальной части главы.

Рассмотрим силу взаимодействия которая в одномерном случае является силой, действующей на частицу с координатой со стороны частицы с координатой

В нормальной физической системе, инвариантной относительно переноса, зависит только от разности Однако при численном моделировании, использующем пространственную сетку, инвариантность существует не при всех расположениях частиц. Так, зависит от расположения относительно сетки так же как и от х (рис. 8.1). Мы уже познакомились с некоторыми эффектами влияния сетки на силу в § 4.8. В большинстве методов моделирования используется сетка с постоянным шагом тогда сила рассматриваемая как функция х с постоянной разделения, будет периодической с периодом

Для того чтобы изучить влияние неоднородности на плазму, необходимо выполнить преобразование Фурье от Для бесконечной системы мы используем интеграл Фурье по х и ряд Фурье по х

где сеточное волновое число, а

Знак и нормировка интеграла Фурье сохраняются в последующем изложении.

Те характеристики плазмы, на которые слабо влияет отсутствие инвариантности, будут подобны свойствам плазмы с силой между двумя частицами, определяемой членом при т. е. усредненной силой Такие свойства могут анализироваться бессеточной теорией [Langdon and Birdsall, 1970], Разница является нефизической сеточной силой. В некоторых отношениях сила подобна «шумовой» силе, однако она когерентна с возмущениями плазмы. Подробнее об этом будет сказано ниже.

Пусть задана плотность частиц представляющая собой сумму -функций, если число частиц конечно. Тогда сила действующая на частицы с координатой х, при пренебрежении зависимостью от времени имеет вид

Используя соотношение (8.1) после преобразования Фурье, получаем

где

Видим, что влияние силы соответствующее членам с проявляется из-за возмущений плотности и сил с волновыми числами, различающимися на величину Говорят, что такие волновые числа накладываются друг на друга [Blackman and Tukey, 1958].

В качестве иллюстрации выведем дисперсионное соотношение для малых колебаний плазмы. Линеаризуя уравнение Власова и представляя зависимость от времени в виде для незамагниченной однородной плазмы, получаем соотношение

где

При это выражение должно быть аналитически продолжено из верхней полуплоскости Объединяя (8.5) и (8.8), получаем

или

При замене к на на каждую систему уравнений можно записать в виде бесконечной матрицы:

где символ Кронекера. Теперь можно получить некоторые важные характеристики.

Приравнивая нулю детерминанты матриц, получаем возможные свободные колебания плазмы. Присутствие внедиагональных членов из-за связи различных длин волн показывает, что нормальные координаты (в терминологии задачи малых колебаний в классической механике) для не будут экспонентами вида а будут некоторыми пока неизвестными линейными комбинациями таких экспонент, так что или меняются как умноженная на периодическую функцию х с периодом (функция Блоха). Таким образом, мы свели рассматриваемую задачу к классическому виду [Brillouin, 1953].

При следует ожидать, что элементы с будут в матрице максимальными. Если т. е. дебаевский радиус то величина максимальна при Следовательно, получаем приближенное дисперсионное уравнение где Оно имеет точно такой же вид, как если бы мы рассматривали однородную плазму с силой Справедливость этого приближения будет пояснена в § 8.11 и далее.

В § 8.11 мы покажем, что детерминанты в рассматриваемых приложениях совпадают с нулями намного более простых рядов. В следующем параграфе начинается математическое описание моделирования плазмы.