14.14. ДИАГНОСТИКИ

При моделировании мы делаем мгновенные снимки величин в зависимости от координаты х, графики функций распределения от и графики фазового пространства от от от Иногда мы выводим графики зависимости от времени различных величин — потенциальной, кинетической, тепловой, дрейфовой энергий или сеточных величин при каком-либо значении х. Все это должно отражать физику, допускать сравнение между линейной и нелинейной теориями и допускать численный контроль сохранения величин типа энергии или какой-либо компоненты импульса или любой другой величины, которая предполагается инвариантной.

При двух- и трехмерных вычислениях делается примерно то же самое, но графика в координатах или или требует более сложных рутинных построений. Зависимость от заменяется на от х, у и имеет вид либо трехмерного графика (скажем, зависимость от х для многих отдельных значений у — перспективный график), либо двухмерных (координаты х, у) эквипотенциальных контуров. Для двухмерной периодической по у системы может оказаться полезным посмотреть на при определенном значении как на функцию х или Зная расположение частиц на фазовой плоскости — скажем, и можно построить контуры постоянной фазовой плотности используя, например, линейное взвешивание с каким-либо сглаживанием; это может понадобиться внутри магнитного конуса потерь, когда в процессе счета из-за рассеяния или неустойчивости возникает поток (дрейфовый, диффузионный) через границу конуса. Другой способ: используя принтеры высокого разрешения

(скажем, 1000 на 1000 линий), печатать точки с плотностью, отражающей плотность частиц; при этом получаются полутоновые рисунки; например, область из точек дает 10 градаций — от белого до черного.

Если мы ищем свидетельство того, что частица захвачена волной, нам необходимо связать частицу с некоторой фазой волны. В одномерном случае при распространении волны только вдоль х распознать на плоскости для холодного пучка захват частиц волной (формирование вихрей в фазовом пространстве), как мы видели в заданиях гл. 5, очень легко. В двухмерном случае при распространении волн в плоскости с некоторым Коэн и др. [Cohen et. al., 1983] использовали одночастичные зависимости от относительной гирофазы за некоторый интервал времени определяется как где Отмечено, что орбита вращающегося и колеблющегося в магнитном поле без флуктуирующих электрических полей иона в плоскости представляет собой эллипс, в плоскости —круг, в плоскости точку. На орбиту адиабатически взаимодействующего с волной иона накладывалось регулярное возмущение. У иона, сильно взаимодействующего с волновым полем, отклонение большое и, возможно, стохастическое. В статье приведен рисунок, демонстрирующий захват волной и стохастичность на интервале примерно 8 циклотронных периодов. Отани [Otani, 1983] делал похожие мгновенные снимки, но для многих частиц, причем фаза измерялась относительно локальной фазы поперечной волны где поле волны], и обнаружил свидетельство захвата частиц.

В одномерной технике проследить, например, за изменением потенциала по можно, последовательно накладывая в моменты времени и т.д. В двухмерном случае проследить за зависимостью от наложением трудно, однако при помощи, скажем, контуров в последовательные моменты времени можно снять фильм. Глаз легко замечает волновое движение в плоскости картина похожа на набегающие на берег волны. Подобные фильмы могут оказать большую помощь, например, при отделении каких-либо быстрых волн малой амплитуды, распространяющихся в одном направлении, от медленной эволюции больших, почти стационарных потенциалов и полей. Совмещая в одном кадре графики электронные и ионные распределения координат и скоростей можно получить очень убедительную демонстрацию доминирующих или существенных физических процессов, при этом глаз отфильтровывает несущественные эффекты [Hockney, 1966; Hockney, Eastwood, 1981]. Оказывается, глаз в кино воспринимает эффекты, которые при рассматривании отдельных графиков почти незаметны или легко теряются

Наконец, необычайно драматично демонстрируют очень сложную динамику фильмы, снятые в нескольких цветах.

Очень поучительным может оказаться слежение во времени за небольшим числом пробных частиц, с умом расположенных при В раннем фильме о диокотронной неустойчивости (Birdsall, Fuss, 1967) отслеживалось движение отдельной частицы. В фильме показано формирование вихрей в плоскости и при этом возникало ощущение, что большинство электронов захвачено; однако когда наблюдалась выделенная частица, то она захватывалась вихрем, продолжала движение, снова захватывалась и при этом частица дрейфует все время в направлении оси. В конце концов все вихри слились в один большой вихрь с центром на оси. Итак, сам по себе фильм может вводить в заблуждение.

Энергия, мощность и совершаемая работа — эти квадратичные величины, полезные для понимания физики дела, могут также быть полезными для численного контроля. Следовательно, диагностики могут учитывать и их; однако, как будет показано ниже, здесь необходима некоторая осторожность. Вычислим изменение кинетической энергии при совершении полем над током работы в объеме V, сначала полагая электростатическую энергию равной а затем и посмотрим, будет ли какая-либо разница. Скорость изменения энергии равна

Введем

Далее, используя уравнение непрерывности, уравнение Пуассона и закон Гаусса, получаем

что в свою очередь превращается в

Аналогичные шаги сделаем и для плотности но удержим (используем уравнение непрерывности, а не уравнение

ние Пуассона), в результате получим

В (14.124) и (14.125) следует помнить, что объем V определен в (14.121) как объем, содержащий интересующие нас частицы. Различие результатов (14.124) и (14.125) можно понять следующим образом. Интеграл от в (14.125) берется только по объему, в котором существует однако включает в себя еще и изменение энергии вне Интеграл по в (14.124) от (мощность) представляет собой скорость изменения потока энергии через Иными словами, при использовании плотности в (14.124) поверхностный интеграл равен плотности мощности (с учетом тока смещения в тогда как в (14.125) с плотностью он равен (только плотность тока частиц). При численном контроле баланса энергии ожидается, что уменьшение частичной [равное — совпадает с увеличением энергии поля. Для систем периодических или заземленных на поверхности равно нулю) поверхностные интегралы исчезают, так что нужно вычислять только плотность энергии или В более общих системах выбор плотности энергии в виде или приводит к использованию в поверхностных интегралах либо либо и одну из величин и следует вычислять. Теоремы о сохранении импульса приведены в работе [Decyk, 1982 ].

Задача

(см. скан)