13.2. ОДНОМЕРНАЯ ПЛАЗМА В ТЕПЛОВОМ РАВНОВЕСИИ

Модель листов. В ранних одномерных моделях плазмы (Dawson, 1962; Eldridge, Feix, 1962, 1963] заряды имели форму тонких листов, движущихся через однородный неподвижный нейтрализующий фон. Модель была периодической, так же как и ESI. Поля получались непосредственно из координат частиц, без использования пространственной сетки. Вычисления были ограничены числом листов 100—1000.

Изображенная на рис. 13.1 первоначальная модель Доусона состояла из подвижных листов с зарядом одного знака (скажем, электронов, движущихся через неподвижный однородный фон длиной с плотностью заряда противоположного знака Вначале листы отстоят друг от друга на расстоянии Если нет возмущения, то листы должны оставаться в том же положении. Если же лист отклонен от положения равновесия причем то усредненное в поперечном направлении электрическое поле уже не равно нулю и возникает сила, стремящаяся вернуть лист в положение равновесия,

или

Таким образом, если листы не пересекают друг друга, каждый из них движется периодически с плазменной частотой. Смещения с пересечениями листов сводятся или к обмену положениями равновесия, или к идеально упругому отражению с обменом скоростями — вся разница в наименовании частиц. Реализация этой схемы обсуждалась Доусоном [Dawson, 1970].

В своих вычислениях в 1962 г. Доусон сделал некоторые проверки. Во-первых, контролировалось сохранение энергии. Для системы из 1000 листов с за 18 плазменных колебаний (2200 шагов по времени) потерялось энергии 7 частей

Рис. 13.1. Исходная модель Доусона — тонкие электронные листы, расположенные на расстоянии друг от друга (в равновесии) на однородном положительном ионном фоне. Внизу изображено поле при смещении одного листа

Рис. 13.2. Усредненное распределение по скоростям для системы из 100 листов. Кривой показано распределение Максвелла с дисперсией, определяемой кинетической энергией системы. Скорости выбираются из интервалов шириной

из 1000. За это время каждый лист пересек примерно 2000 других листов, так что в среднем заданный лист при пересечении терял энергии 3 части из 10б. Уменьшая шаг по времени, можно было увеличить точность за счет скорости вычислений. Не похоже, впрочем, чтобы это имело смысл.

Во-вторых, было обращено движение системы из 9 листов, и оказалось, что система повторяет свой путь с точностью на протяжении шести колебаний (такая точность была у всех орбит).

В-третьих, сила трения, действующая на частицу, была одинаковой как в отрицательном, так и в положительном направлении времени. Таким образом, несмотря на то что вычисления проводились в определенном направлении, вперед во времени, результаты оказались симметричными по времени.

Распределение Максвелла — равновесное. При получении численных результатов начальное состояние системы выбиралось близким к тепловому равновесию. Для введения распределения Максвелла частицы распределялись по 16 однородным в пространстве группам скоростей; если скорость группы, то число частиц в группе выбиралось пропорциональным Случайная скорость частицы выбиралась следующим, образом. Скорости всех частиц заносились на перфокарты (знают ли наши современные читатели о машинных перфокартах?), которые тщательно тасовались. Получившаяся колода использовалась в качестве начального распределения скоростей. Все листы стартовали со своих равноудаленных друг от друга положений равновесия.

На рис. 13.2 показано усредненное по времени распределение скоростей для системы из 1000 листов с Гладкая кривая — это теоретическое распределение Максвелла, полученное в предположении, что кинетическая энергия равна полной энергии за вычетом средней потенциальной энергии (только 8% полной энергии).

Согласие между численными результатами и теоретической кривой хорошее. Тем не менее оно не столь хорошо, как можно было бы ожидать, если бы взятые в различные моменты времени выборки были статистически независимы. Обозначенные черточками ошибки должны быть в этом случае порядка В этих вычислениях выборки делались 3 раза за плазменный период Время релаксации (время, необходимое для того, чтобы после малого возмущения вновь установилось распределение Максвелла) — порядка В течение времени релаксации выборки делались примерно 6 раз, и поэтому ожидаемое отклонение должно быть порядка а не Если время между выборками становится сравнимым с временем релаксации, то флуктуации уменьшаются до ожидаемого статистического уровня. Эти результаты показывают, что система постоянно флуктуирует около теплового равновесного состояния и что согласие с теорией объясняется не только тем, что система стартовала примерно с максвелловского распределения.

Дебаевская экранировка. Внесенный в плазму заряд отталкивает заряды одного с ним знака и притягивает заряды противоположного знака. Таким образом, вокруг такого заряда образуется заряженное облако противоположного знака. Это облако содержит заряд, в среднем равный, но противоположный по знаку внесенному. Размер этого заряженного облака равен дебаевской длине Вне этого облака система частицы плюс облако выглядит нейтральной. Эта дебаевская экранировка внесенного заряда исследовалась в модели отдельных заряженных листов.

На рис. 13.3 изображена дебаевская экранировка для системы из 1000 листов с Точками обозначено среднее число частиц, расположенных на расстоянии от до 1, от 1 до 2 и т. д. средних интервалов от пробного листа. Для получения этих средних из всех листов внутри каждого интервала учитывался каждый десятый. Это повторялось большое число раз в различные моменты времени, и вычислялось среднее по всему набору. Экранировка проявляется в том, что в области с размером, равным длине Дебая и содержащей много листов, в среднем отсутствует один лист (в рассматриваемом случае Из-за случайного движения плотность в окрестности пробного листа флуктуирует, и это малое отклонение может

Рис. 13.3. Средняя плотность электронов в окрестности расположенного при пробного листа. Кривой показана дебаевская экранировка,

оказаться замаскированным. Иногда на дебаевской длине находится 12 листов, а иногда 8 или 9. На рис. 13.3 сплошная кривая представляет теоретический результат, а точки — результат, полученный в численном эксперименте. Указанные погрешности — это статистическая неопределенность, возникающая из-за использования конечного числа пробных листов.

Гладкая кривая получена из линеаризованной теории Дебая. Это — решение линеаризованного уравнения Пуассона

причем предполагается, что При учете граничного условия на пробном заряде, т. е. при

и линеаризованное решение имеет вид

что согласуется с (12.10). Заметим, что при уменьшение плотности мало и, следовательно, его трудно обнаружить.

Дебаевская экранировка была одним из самых трудных для машинных вычислений эффектов. Это объясняется тем, что при вычислении плотности статистическая погрешность оказывается порядка где -число пробных частиц, по которым проводится усреднение. Таким образом, в рассмотренном выше случае, где максимальное уменьшение плотности составило 10%, необходимо было повторить процедуру 100 раз, прежде чем изменение плотности сравнялось с флуктуациями. Вычисление уменьшения плотности с -ной точностью потребовало 104 выборок. Используя сетку, можно измерить из пространственного коррелятора электрического поля. Согласие с теорией

Рис. 13.4. Возбуждаемое быстрым движущимся слева направо листом электрическое поле

Рис. 13.5. Среднее трение или замедление группы быстрых частиц для системы из 1000 листов, начиная с Прямая линия описывается уравнением (13.8)

при этом оказывается отличным [Носкпеу, 1971; Okuda, 1972]. Кроме того, в работе [Okuda, 1972] измерены как пространственные, так и временные корреляции и спектры и приведены результаты сравнения с теорией, учитывающей сеточные эффекты.

Трение. Рассмотрим однородную одномерную плазму, состоящую из частиц одного сорта на нейтрализующем фоне. Частица, движущаяся через плазму, или поляризует ее или возбуждает плазменные колебания и тем самым замедляется. Кроме того, она ускоряется случайными электрическими полями, создаваемыми другими частицами. Пусть в момент времени выделена группа пробных частиц с примерно одинаковыми скоростями. В последующие моменты времени их скорости распределяются по большему интервалу Средняя скорость группы уменьшается как из-за поляризации или возбуждения волн, так и из-за влияния флуктуационного поля, что часто упускают из виду. Эти процессы описываются уравнениями (12.40), (12.46) и (12.49).

Рассмотрим силу трения, действующую на очень быстрый, или надтепловой, лист в бесконечной плазме. Пусть скорость листа положительна. Плазма впереди такого листа о его приближении ничего не знает. Следовательно, перед листом не может быть никакого возмущения и тем самым электрического поля. Однако при переходе с отрицательной стороны листа на положительную электрическое поле должно уменьшиться на величину как показано на рис. 13.4. Электрическое поле, которое чувствует лист, равно среднему полей слева и справа, Его замедление

не зависит от скорости. Энергия уходит на возбуждение следа плазменных колебаний (см. рис. 13.4, задачи 13.3 и 13.4).

На рис. 13.5 для двух групп быстрых частиц изображена зависимость от времени средней абсолютной скорости. Начальная скорость для группы, представленной кружками, равна а для треугольников . За частицами из этих групп следили и записывали средние скорости обеих групп (в зависимости от времени). Согласие с формулой (13.8) хорошее.

Если система (а следовательно, и код) обратима во времени, то трение при движении в отрицательном направлении времени должно быть таким же, как и при движении вперед по времени. В этом случае так и получилось. В некоторый момент времени выделялась группа частиц со скоростями, лежащими в окрестности На графике средней скорости группы как функции данные для положительных и отрицательных легли на одну линию.

Елдридж и Фейкс [Eldridge, Feix, 1962] вычислили трение и диффузию и обнаружили соответствие с измерениями Доусона [Dawson, 1962]. У Елдриджа и Фейкса [Eldridge, Feix, 1963] приведены теория и измерения трения и диффузии, а также важные физические представления.

Поляризационные потери получаются из линеаризованного уравнения Власова, как и в задаче 12.6. В пренебрежении сеточными эффектами для одномерной плазмьг из выражения (12.49) имеем

Замечая, что можно записать в виде перепишем интеграл следующим образом (см. задачу 13.3):

где

В случае распределения Максвелла

Для малых скоростей находим

Для больших скоростей находим (см. задачу 13.4)

при что согласуется с выражением (13.8).

Предположим, как в гл. 12, что функция распределения пробных частиц удовлетворяет уравнению типа Фоккера — Планка

где вторая форма записи следует из (12.46): Диффузия определяется из детального равновесия: если -функция распределения Максвелла, то она не зависит от времени. Таким образом,

Для малых скоростей из формулы (13.12) находим

Заметим, что в рассматриваемом случае составляет только 5% При малых скоростях легче измерить, чем потери. Эти выражения, впервые полученные в работе [Eldridge, Feix, 1962], согласуются с измерениями Доусона [Dawson, 1962].

Время релаксации. Для быстрого листа замедление равно

тогда как для медленного листа

где

Следовательно, видим, что существует время

которое существенно для замедления как быстрых, так и медленных частиц. По порядку величины равно отрезку времени, за который быстрая и медленная частицы существенно изменяют свою скорость; его можно также представить себе как время стохастизации или (цитируя Доусона) «как время, за которое плазма забывает свое начальное состояние». Если мы хотим, чтобы два измерения распределения скоростей были статистически независимы, необходимо разделить их интервалом времени, по меньшей мере, равным Так как обычно используются величины интервалы должны быть больше или равны отношению т. е. больше трех плазменных периодов.

Для небольших отклонений от распределения Максвелла время релаксации к равновесию примерно равно времени, за которое останавливается медленная частица, или времени, за которое группа частиц с определенной скоростью расплывается по всему распределению Максвелла. Разумеется, единого времени релаксации не существует. Тем не менее выражение (13.18) дает разумную оценку времени релаксаций, необходимого для того, чтобы выделенная из распределения Максвелла группа частиц разошлась по всему распределению.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)