14.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ПО х И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО у СИСТЕМ

Рассмотрим методы решения уравнения Пуассона для плазменных систем, которые периодичны по у, но ограничены по х, вроде тех, которые могут встретиться при моделировании неоднородной плазмы (рис. 14.10). Решается уравнение Пуассона с граничными условиями, заданными с двух сторон системы, при Типичными границами являются замкнутые (определено изменение потенциала по или открытые (вакуум при

Внутри моделируемой области и потенциал является решением уравнения Пуассона. Если моделируемая область с

Рис. 14.10. Двухмерная, периодичная по у с периодом и открытая при модель плазмы

одной или с обеих сторон граничит с вакуумом, где и потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа, то решение уравнения Пуассона внутри необходимо сшить с подходящим (спадающим) решением уравнения Лапласа вне моделируемой области. Эта сшивка не означает, что внутри моделируемого объема удерживаются только уходящие волны — электростатические волны отражаются от открытой границы. Метод решения задач с такими открытыми граничными условиями был разработан Бунеманом [Buneman, 1973]. Мы опишем вариант, который был использован в коде ZOHAR [Langdon, Lasinski, 1976] для границ при и обобщен Невинсом для других случаев.

Совершим сначала преобразование Фурье плотности заряда

где обозначает узлы сетки по х, А — по компоненты Фурье по число узлов сетки на одном периоде по При использовании обычного двухмерного пятиточечного оператора Лапласа уравнение Пуассона сводится к виду

где принимает значения от до и

В дальнейшем опускаются. Для решения (14.18) добавляется информация о граничных условиях.

Пусть, во-первых, на правой и левой границах расположены электроды под фиксированными, не зависящими от у потенциалами При и (14.18) совпадает с уравнением для одномерной системы с электродами, решение которой приведено в приложении При используем стандартный метод исключения Гаусса для трехдиагональных матриц, который также приведен в приложении

Во-вторых, пусть правая и левая границы открыты. Вне моделируемого объема, там, где плотность заряда равна нулю, решение уравнения (14.18) имеет вид (при

где - больший корень квадратного уравнения

(второй корень равен Решение уравнения Пуассона внутри моделируемого объема приравнивается на границе вакуумному решению, которое не расходится при На открытой границе с правого конца системы эта сшивка дает

где обозначает крайний правый узел сетки, на котором при моделировании собирается заряд. На открытой границе с левого конца системы эта сшивка дает

где обозначает крайний левый узел сетки, на котором собирается заряд. Граничные условия вместе с набором (14.18) образуют трехдиагональную систему из уравнений, разрешимую методом, приведенным в приложении

При применении обычного гауссова исключения поддиагонали оказывается, что все, за исключением последних, новые диагональные элементы равны Благодаря отмеченной Бунеманом [Buneman, 1973] факторизации, которая обсуждается ниже, эта система уравнений оказывается проще. Систему уравнений (14.18) запишем в виде

Выписывая последнее уравнение системы (14.24), мы использовали и (14.22). Теперь можно исключить верхнюю поддиагональ и получить систему разностных уравнений первого порядка для

Система уравнений (14.25) имеет вид

где источник удовлетворяет соотношению

Правое граничное условие на потенциал удовлетворяется, если потребовать

Можно получить (14.26) и (14.27) непосредственно из уравнения Пуассона (14.18), используя предложенную Бунеманом [Buneman, 1973] факторизацию оператора Лапласа

где — оператор смещения для сеточных величин, определяемый соотношением

При помощи этой факторизации (14.18) запишем в виде

где равно

Эти уравнения совпадают с полученными ранее (14.26) и (14.27).

Теперь, поскольку у нас есть граничное условие для на правой открытой границе, можно при помощи (14.27) осуществить прогонку справа налево и вычислить источники от до Граничное условие на левой границе для потенциала (14.23) необходимо для начала прогонки в обратную сторону, слева направо, в процессе которой потенциал вычисляется при помощи разностного уравнения первого порядка (14.26). Случаю посвящена задача 16.4.

Ленгдон и Лазински [Langdon, Lasinski, 1976] использовали другой вид факторизации, а именно так что они находили прогонкой слева направо, справа налево. Эта факторизация и прогонка хорошо работают для случая левой открытой границы. Операции в обоих случаях те же, что и для упрощенного исключения Гаусса.

Наконец, пусть правая сторона открыта, а на левой границе потенциал задан. Первые несколько уравнений из нашей приведенной системы (14.26) запишем так:

На этой границе потенциал задан как функция у и после преобразования Фурье получается Эти значения используются в (14.33) или (14.26) для вычисления при помощи обратной прогонки слева направо.

Окончательно обратное преобразование Фурье

дает точное, в пределах ошибок округления, решение уравнения Пуассона.

Задачи

(см. скан)