16.9. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ В ПРОДОЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ СИСТЕМАХ; ПЛАЗМЕННЫЕ ПРИБОРЫ

Ниже исследуются детали моделей с плоскими приводящими границами при Сначала обрабатываются граничные условия для частиц и полей в одномерном электростатическом случае. Обобщение на двухмерный, периодический по у случай приведено в § 15.12. Граничные электроды могут излучать и поглощать электроны и ионы. К электродам могут быть подсоединены элементы внешней цепи; ниже показано, как решать уравнения цепи одновременно с уравнениями движения.

Модель изображена на рис. 16.14 - основная ось направлена вдоль х, сеточный индекс у, а перпендикулярно ей — ось у, сеточный индекс

Рис. 16.16. Разность между плотностью тока плазмы и плотностью тока внешней цепи равна величине на проводящей границе

Граничные условия для зарядов и полей в Новая физика здесь связана с плотностью поверхностного заряда на граничных электродах. Связь с полями на границе дается соотношениями

Алгоритм линейного взвешивания для частицы в последней ячейке, распределяющий заряд между показан на рис. 16.15. Заряды, ушедшие за границу за один временной шаг добавляются в (эта величина измеряется в единицах и вычеркиваются из списка активных зарядов (возможны и другие алгоритмы). При вычислении, например, в середине крайней ячейки используются активные частицы

Для проверки этих результатов рассмотрим среду, равномерно заполненную от до х зарядами с плотностью тогда как в включается ровно половина заряда первой (последней) ячейки, Так как аналитически

то численно

что совпадает с в (16.31). Поскольку заряд собирается с половины ячейки, может быть равна и в таком виде ее используют при программировании это обозначение машинной переменной, которую не следует путать с физической переменной

Интегральная форма закона Гаусса, примененная к изображенному на рис. 16.16 ящику, с учетом

где и -ток плазмы и ток внешней цепи соответственно, гарантирует сохранение заряда (здесь полный ток системы, в точности равный току цепи плотность которая нужна для вычисления полей и потенциалов, слагается из активных зарядов, покидающих плазму и размещаемых при и зарядов, переносимых токами внешней цепи.

Уравнения поля для можно записать в конечноразностном виде и решить обычными методами.

Аналогичное рассмотрение двухмерных зарядов и граничных условий проведено в § 15.12.

Связанные с граничными условиями неустойчивости типа отмеченной в работе [Swift, Ambrosiano, 1981] в разумных приложениях не возникают такие неустойчивости развиваются, если пересекающие границу частицы снова инжектируются в систему через другую границу с большим (например, периодические граничные условия для частиц с апериодическим потенциалом!). Это не та процедура, к которой можно прийти из физических соображений, за исключением случая, когда внешняя цепь вкладывает энергию в плазму.

Решения вместе с внешней цепью. Поведение активных зарядов в пространстве между металлическими стенками определяется так же, как и в предыдущих моделях. Связанные с внешней цепью заряды на стенках описываются при помощи уравнений Кирхгофа.

Искусству моделирования одномерных электронных приборов посвящена книга [Birdsall, Bridges, 1966], в которой дан обзор успешно применявшейся с 30-х годов техники. В этой технике неявно предполагается, что: 1) существует только одномерное электростатическое поле нерелятивистское движение происходит только вдоль в приборе отношение диаметра к длине велико, поэтому зависимостью полей от можно пренебречь; 4) краевыми эффектами, связанными с конечностью диаметра прибора, можно пренебречь; 5) токи существуют, но создаваемое этими токами магнитное поле не влияет на движение (пренебрегается пинч-эффектом, обусловленным как постоянным током, так и переменным); 6) диаметр прибора достаточно мал, т. е. в поперечном направлении волны распространяются практически мгновенно; 7) стенки эквипотенциальны, и поверхностные токи не играют роли.

Не все эти предположения независимы, они позволяют исследовать много интересных эффектов, но многие явления остаются в стороне. Описываемая здесь одномерная модель

плазменного прибора опирается на те же предположения, что и сформулированная выше модель электронного прибора.

Тем не менее двухмерная модель плазменного прибора (металлические электроды при периодичность по у с периодом нет зависимости от и в особенности ее электромагнитная версия, опирается на меньшее число предположений (в действительности ограничений). Поскольку улучшается учет токов и магнитных полей, могут возникнуть более интересные эффекты (например, распространение волн вдоль оси Для периодической модели, которая полностью описывается в области не нужна внешняя цепь — внешние (или обратные) токи, не зависящие от у, могут течь через прибор, создавая такое же изменение зарядов на стенках, какое создало бы однородное по у поле не создающее, однако, разделения зарядов или магнитного поля. Такое же влияние оказывает добавление внешней цепи, которая приводит только к изменению зарядов на стенках (в дополнение к изменению, связанному с активными зарядами). Полная плотность тока, усредненная по у, равна

где знак выбран для удобства. Но эта плотность равна

Поскольку периодично по у, интеграл равен нулю и Интегрирование уравнения для по у дает

где

— понятие, используемое в электронных приборах - [Birdsall, Bridges, 1966). В (16.35) потенциал прибора равен интегралу вдоль прибора и после усреднения по у имеет вид

Рис. 16.17. Схема вычислений для RС-цепи. Штрихи означают моменты времени между

причем Заметим, что второй член в (16.35) равен где (емкость на единицу площади).

Предположения, заложенные в одномерную модель, где ток замыкается вне прибора (см. рис. 16.14), легко понять в рамках двухмерной модели. Внутри прибора существует поле но в соответствии с предположениями 1—6 радиальный размер (по системы мал и поэтому интеграл в (16.34) равен нулю и выполняются соотношения (16.75) — (16.37). Но величину на пересекающей прибор поверхности можно представить в виде а на поверхности пересекающей внешнюю цепь, — в виде тогда полный интеграл по равен нулю (поскольку равен нулю интеграл по объему от что эквивалентно Следовательно, выполняется соотношение (16.35), а в (16.36) и (16.37) не нужно усреднение.

Теперь мы готовы интегрировать систему по времени. Рассмотрим сначала простую внешнюю цепь, содержащую сопротивление, емкость и источник напряжения (см. рис. 16.14), но не содержащую индуктивности, Последовательность операций изображена на рис. 16.17. В момент времени величины зависят от переноса заряда частицами и внешней цепью в предшествующие моменты времени. По мере передвижения частиц на новые места на и временном уровне покидающие и входящие в систему частицы изменяют заряд на стенках и в результате устанавливаются промежуточные значения Иными словами, в конце процесса перемещения и взвешивания частиц величины учитывают вклад всех частиц, но не учитывают изменений полей и заряда на стенках, связанных с током во внешней цепи. Решение уравнений для полей в этот момент времени дает промежуточные значения потенциалов и полного напряжения прибора Уравнение Кирхгофа для замкнутого контура является уравнением первого порядка для заряда конденсатора

где учтено, что Полевые уравнения в системе линейны, поэтому выполняется принцип суперпозиции и можно сложить напряжение (обусловленное частицами) и напряжение, связанное с током во внешней цепи в интервале от до

Уравнения (16.38) и (16.39) используются для перехода от и вычисления Второй член выглядит как Уравнение (16.39) не центрально по времени, что обеспечивает устойчивость при любых временах затухания и гарантирует, что при Следовательно, уравнение цепи, записанное в виде

для устойчивости берется в момент следует решить относительно или

Отметим, что при закорачивании емкости (при этом никаких проблем не возникает. Это уравнение определяет и тем самым правильную величину напряжения на приборе Заряд прибавляется к Сто и вычитается из полученные величины соответствуют теперь моменту времени Заряд создает постоянное поле которое определяет поправку к внутренним потенциалам в момент

Поля получаются при помощи обычных пространственных разностей.

Если нужна корректировка продольной части (в ЕМ-моделях), то корректирующий потенциал вычисляется, как в гл. 15. Этот шаг можно скомбинировать с поправкой (16.42).

При добавлении внешней индуктивности необходимо изменить последовательность операций (рис. 16.18). Теперь уравнения цепи оказываются второго порядка:

Рис. 16.18. Схема вычислений для -цепи

Эта система используется для нахождения и тем самым В качестве первого подхода построим

и

Здесь мы узнаем центральный по времени метод с перешагиванием второго порядка точности. Теперь можно вычислить новый ток

и новый заряд конденсатора

Затем добавляется к Сто и вычитается из Наконец, при помощи в момент вычисляются поля. Можно показать (см. задачи), что этот способ устойчив при т. е. он неприменим, если или или (разомкнутая цепь).

В качестве другого подхода запишем уравнение цепи (16.43) в момент (изменив соответствующим образом рис. 16.20) и используем (16.40). Затем построим представление второго порядка точности:

и

Далее имеем

что используется для перехода от к и вычисления полей. В различных пределах этот метод устойчив, и, следовательно, можно, ожидать, что он устойчив и при любых значениях (см. задачу 16.4).

Задачи

(см. скан)