12.5. ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Диффузия скорости. Рассчитаем теперь влияние флуктуирующего поля на распределение скоростей движущихся через

него частиц. Вычислим сначала дисперсию изменения скорости пробной частицы за время под влиянием ускорений, принимающих значения от до Диффузионный процесс имеет место, если для достаточно больших дисперсия пропорциональна При интегрировании методом с перешагиванием изменение скорости равно

Для вычисления ускорения используем силу на невозмущенной траектории. Кроме того, используем силовое поле в отсутствие пробной частицы. [При этом погрешности малы по сравнению с главными членами и в дисперсию (величину квадратичную) дают вклад более высокого порядка малости, чем нам нужно. Позднее мы покажем, что тем не менее и то, и другое дает важный вклад в среднее изменение скорости и в трение.] В выражении (12.34) можно просуммировать по используя преббразование Фурье для поля

Для флуктуации силы

где

Так как сила зависит от непрерывной переменной х, следует использовать обычное обратное преобразование Фурье. Множитель вместо означает, что по отношению к ансамбль не вполне однороден. Средние периодически зависят от положения относительно сетки и, кроме того, от расстояния между точками. Этого можно было ожидать, так как хотя узлы сетки могут быть эквивалентными, но ситуация в узлах и между ними разная. Подробнее этот вопрос рассмотрен ниже.

Образуем теперь среднее по ансамблю которое, как мы надеемся, будет тензором диффузии, т. е. при не будет зависеть от Умножим для этого выражение (12.35) на себя с заменой на при этом две пары интегралов можно преобразовать к одному кратному интегралу. Для получения дисперсии, используя (12.36), усредним

полученное выражение по ансамблю и возьмем интегралы по к и со:

Нас не интересует зависимость диффузии частиц от их положения на сетке, так что усредним по ячейке, в результате чего все члены, кроме члена с пропадают:

Рассмотрим интеграл при большом Последний множитель — это пик шириной Если спектр слабо меняется в окрестности пика (а это, грубо говоря, означает, что больше времени корреляции поля), то существует вклад типа

который не зависит от и тем самым напоминает диффузию. Подходит также вклад от частот, в области которых существуют большие плазменные колебания, — он соответствует колебаниям нерезонансных частиц в поле волны и в нашем стационарном ансамбле почти постоянен:

Поскольку этот вклад уменьшается медленно — пропорционально он может вызывать трудности при попытках измерить диффузию в численном эксперименте. В конце концов приближается к что поэтому мы и называем тензором диффузии. (Но нельзя ждать слишком долго — при этом частицы отклоняются от невозмущенных траекторий

больше, чем на длину волны, и линейное приближение нарушается. Обоим условиям можно удовлетворить, если частиц достаточно много и амплитуды флуктуаций малы.)

Трение. Если при усреднении изменения скорости частицы использовать траектории нулевого порядка и пренебречь влиянием выбранной (пробной) частицы на окружающую плазму, то получится нуль. Для получения обоих вкладов в трение подправим сначала одно из этих приближений, а затем другое.

В первом случае следует найти среднее изменение скорости частицы, движущейся через поля с заданным спектром флуктуаций. Пусть создаваемое полем ускорение на траектории нулевого порядка. Из (9.21) следует, что результирующее отклонение частицы равно

Разность между ускорением на возмущенной траектории и равна

Поскольку разумеется, скоррелировано с то хотя среднее от пропадает, среднее от не равно нулю. В результате среднее изменение скорости частицы равно

Пройдя путь, похожий на уже пройденный при рассмотрении диффузии, можно найти, что (см. задачу 12.5)

где дается все тем же выражениям (12.39). При большом эта величина опять приближается к постоянной, в результате чего эффект становится похожим на ускорение трением

Если собрать воедино диффузию и трение, найденные пока в рамках описания Фоккера — Планка медленной эволюции распределения по скоростям, то получим

Так как входящий в спектр флуктуаций (12.40) с учетом (12.37) не обязан совпадать с (12.18), а может быть обусловлен турбулентностью слабо неустойчивой плазмы, мы получаем альтернативный вывод уравнения для частиц квазилинейной теории (в пределе малой скорости роста).

Оставшийся источник трения — это возмущение пробной частицей окружающей плазмы. Вполне достаточно рассматривать плазму как власовский газ и считать, что частица движется с постоянной скоростью. Усредняя, как обычно, по ячейке, получаем

Этот результат [но не (12.46)] применим и к не использующим перешагивания схемам интегрирования по времени (см. задачу 12.8).

Кинетическое уравнение. Собрав (12.40), (12.46), (12.48), (12.49) и (12.22) в уравнение Фоккера — Планка для получим аналог кинетического уравнения Балеску — Гуернси-Ленар да для моделируемой плазмы:

Можно сравнить это длинное уравнение с уравнением для настоящей плазмы (само по себе довольно сложное [Lenard, 1960; Balescu, 1960; Guernsey, 1962]). Формула (12.50) в пределе малых сводится к их результату

Кинетическое уравнение в модели Льюиса (см. гл. 10) представляет собой специальный случай полученного выше результата, за тем исключением, что не делается никаких предположений о периодичности Оно имеет вид

где определяется выражением (12.4) и Специальными случаями являются сохраняющие энергию алгоритмы с и переплетающейся сеткой (см. задачу 12.7).

Для не использующих перешагивания схем интегрирования, которые используются при неявном моделировании, возникают дополнительные члены (см. задачу 12.8).

У нашей теории есть одно достоинство по сравнению с теорией настоящей плазмы — из-за того, что решетка сглаживает кулоновское поле, не возникает трудностей с расходимостями при больших А.

Сюда примешиваются обычные столкновения, модифицированные сглаживанием силы [Langdon, Birdsall, 1970; Okuda, Birdsall, 1970], плюс все прочие сеточные эффекты вроде нагрева из-за сеточного шума [Hockney, 1966, 1971; Hockney, Eastwood, 1981]. В некоторых интересных случаях можно сделать некоторые красивые приближения, а различные физические стороны вопроса аналитически исследуются ниже.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)