15.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ПО ВРЕМЕНИ И РАЗМЕЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЕТКИ

Поля интегрируются при помощи временных производных, определяемых законами Фарадея и Ампера — Максвелла:

Так же как и выше, эти уравнения записаны в рационализованной системе СГС (Хевисайда-Лоренца), в которой при расчете и физической интерпретации результатов исключены почти все случайности с множителями

Размещение временных производных в левой части, а в правой части предполагает, как показано на рис. 15.1, использование схемы интегрирования по времени с перешагиванием. Из рисунка также видны временная дискретизация

Рис. 15.1. Временная дискретизация полевых и частичных величин, используемая при интегрировании с перешагиванием уравнений Максвелла

плотности тока координат частицы х и скорости а также поправки к потенциалу на рисунке показаны потенциалы (как альтернатива . Подобная центральная временная разность имеет второй порядок точности.

В двухмерном пространстве поля могут быть разделены на поперечные электрические (ТЕ) и поперечные магнитные (ТМ). Все величины зависят от координат х, у, тем самым вектор к лежит в той же плоскости ТМ-поля, для которых к имеют компоненты ТЕ-поля имеют компоненты Эти наборы не связаны между собой, в чем можно убедиться, расписывая по компонентам уравнения Максвелла. Взаимное расположение компонент в пространстве можно выбрать так, чтобы получить центральную пространственную разность — это показано на рис. 15.2 для ТМ-полей (достаточно для и ТЕ-полей (необходимо для Полностью полевая сетка изображена на рис. 15.3, причем для того, чтобы индексы были одинаковыми, а граничные условия аналогичными, и ТЕ-поля совмещены. В некоторых приложениях ТЕ-поля остаются равными нулю (см. задачу 15.8) и нет необходимости их вычислять и запоминать.

Теперь, следуя работам [Buneman, 1968; Boris, 1970; Morse, Nielson, 1971], запишем простое явное разностное представление уравнений Максвелла, в котором производные по времени принимают вид

где

Рис. 15.2. Расположение ТМ- и ТЕ-компонент полей на пространственной сетке выбирается так, чтобы разностная схема (15.1), (15.2) была центральной. Поскольку ТМ- и ТЕ-компоненты не зацепляются, относительное расположение узлов не имеет значения

Рис. 15.3. Пространственное расположение на полевой сетке двухмерных ТМ-полей их источников по мере интегрирования вперед по времени разностных уравнений Максвелла. Сетка для частиц та же, что и для плотности заряда. В случае добавляются ТЕ-поля, при этом располагаются в точках располагаются вместе с

и т. д. Аналогично определим пространственные разностные операторы Оператор градиента V записывается как Принятые обозначения оказываются полезными потому, что эти операторы, действующие на определенные на нашей пространственно-временной сетке величины, коммутируют. Тем самым с разностными уравнениями можно обращаться так же, как и с похожими на них дифференциальными уравнениями.

Для ТМ-компонент разностные уравнения Максвелла (15.1) — (15.2) принимают вид

При известных с помощью (15.4) можно определить Точно так же вычисляют электрическое поле. Например, уравнение (15.5) представляют в виде

Как показано на рис. 15.1, процесс чередуется — сначала вычисляется затем В. На каждом шаге в памяти вместо старых значений полей записываются новые. Нет необходимости запоминать значение каждого поля более одного раза.

Задача

(см. скан)