ЧАСТЬ III. ПРАКТИКА. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ В ДВУХ И ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Ниже представлены более сложные коды, используемые в двух и трех измерениях, и подготовлены некоторые процедуры для кодов с любым числом измерений. Переход от одного пространственного измерения к двум или трем хотя и приближает нас к реальности, но увеличивает сложность программ и необходимое машинное время. Теперь необходимы двух- и трехмерные программы перемещения и взвешивания частиц, решения полевых уравнений и диагностики.

В гл. 14 приведены детали алгоритмов для электростатических программ в двух и трех измерениях.

В гл. 15 описаны моделирование с учетом самосогласованных электромагнитных полей (как продолжение гл. 6 и 7), а также приближения. типа модели Дарвина.

В гл. 16 представлена техника, применяемая для загрузки частиц, а именно — для выбора начальных значений а также для влета и вылета частиц в процессе счета. При этом учитывается возможность существования внешней электрической цепи.

ГЛАВА 14. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ В ДВУХ И ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ

14.1. ВВЕДЕНИЕ

Моделирование в двух и трех пространственных измерениях гораздо более реалистично, чем в одном измерении. Действительно, для получения полезной физической информации многие задачи требуют использования более чем одного пространственного измерения. Таким образом, в этой и последующих главах делаются следующие за одномерным случаем шаги — сначала для электростатических, а затем и для электромагнитных моделей. Оценим затраты и сложность программ.

В двух- и трехмерном электростатическом моделировании, также как и в одномерном, можно, не привлекая пространственной сетки, непосредственно использовать закон Кулона.

Вычисление парного взаимодействия можно проводить, используя силу между i-м и j-м зарядами: или Этот подход хорош при моделировании изолированной плазмы, когда нет граничных условий на поля (нет изображения зарядов). Тем не менее для общих, ограниченных или периодических плазменных моделей необходимость следить за поведением частиц на удалении X, меньшем для нейтральной плазмы возникает редко и, следовательно, в увеличении времени вычислений, связанном с расчетом межчастичных взаимодействий, нет необходимости. Таким образом, вместо непосредственного применения закона Кулона обычно, используя пространственную сетку, вычисляют поля из плотностей заряда и тока. Для того чтобы наблюдать сеточные величины на достаточно малых масштабах, которые определяются искомой физикой, сетку выбирают довольно плотной, но не больше, чем необходимо. Обычно, в двухмерных программах сетки имеют размер от узла) до узлов); при этом чисел) запоминаются в каждой точке и необходима возможность произвольного доступа к памяти. В трех измерениях при использовании сетки узла) и при наличии всех компонент в оперативной памяти необходимо держать чисел, что в настоящее время нетривиально!

Скачок от наблюдения за с двумя переменными в фазовом пространстве с шестью переменными в фазовом пространстве может потребовать перехода к числам вроде (64) ячеек и в зависимости от задачи — от 104 до 10 частиц. Число параметров частицы (т. е. скачет от двух до шести чисел, и обычно возникает необходимость во много большем числе частиц. Требование гладкости изменения вплоть до размеров ячейки, что иногда оказывается дорогим даже в Ы, в может оказаться непреодолимым, требование того, чтобы и и ЦХВ были большими, может стать очень дорогим. Каждое дополнительное измерение в фазовом пространстве умножает стоимость памяти и времени счета. К счастью, так же как и в каждая задача имеет свои потребности; многие задачи можно решать в при приемлемых затратах, разумеется, по сравнению, например, с полномасштабным экспериментом по синтезу, для которого имеется лишь приближенная теория.

Может оказаться, что при движении вверх от наибольшие проблемы связаны с увеличением сложности программирования в Представим себе, например, дополнительные трудности, возникающие при проектировании начальной загрузки и последующей инжекции, проектировании поглощения и отражения частиц, при создании диагностик и последующей

обработки, результаты которой можно было бы легко воспринимать, а также при проведении тестов на точность. Почти все это труднее, и возможно, намного, чем просто получить большую память и более быструю обработку.

Из сделанных выше замечаний вытекает предложение — моделирование должно постепенно прогрессировать через приводя к полному -моделированию.

Прикинем, что же необходимо для решения двух- и трехмерных электростатических задач. Мы продвигаемся по пути следующим образом:

взвешивание в любом порядке;

привести к конечно-разностному виду и найти

привести к конечно-разностному виду и найти

взвешивание в любом порядке.

Если и представимы в виде дискретных рядов Фурье, то можно получить, например, из или делением на конечно-разностный оператор или просто на 42, или можно использовать комбинацию, скажем, конечно-разностного решения по х и рядов Фурье по у.

Шаги от ускорения к и те же, что и в гл. 4. Там приведены центральные по времени алгоритмы с перешагиванием, с последовательными половиной ускорения, вращением и половиной ускорения. Они приведены в векторной форме, применимой как в так и в

Процедуры взвешивания частиц в являются непосредственными обобщениями уже использовавшихся в и приводят к эффективным формам частиц, более или менее похожим на стержни и кубы соответственно в (см. Множители формы частиц принимают теперь вид (х, и обычно примерно симметричны, но из-за того, что частицы конечных размеров представляют собой квадраты или кубы и из-за прямоугольности сетки возникает некоторая (нежелательная) анизотропия. Например, эти эффекты приводят к немного разному распространению волн вдоль осей и между осями, причем при увеличении порядка взвешивания эти эффекты уменьшаются.

Алгоритмы вычисления поля также являются обобщением используемых в Необходимо иметь конечно-разностную форму а также некоторую информацию о точности. Представляемые алгоритмы решения уравнения Пуассона являются прямыми (не итеративными) и для перехода от используют или дискретные ряды Фурье, или обращение матриц.

Для модели с любым числом измерений у вычислителя есть возможность выбирать граничные условия для потенциалов и

частиц, а также свобода использования симметрии. В двух- и трехмерных системах модели могут быть полностью периодическими, или полностью ограниченными, или с различными граничными условиями по двум или трем координатам, а границы могут быть нерегулярными, со смешанными граничными условиями.

Для представления части бесконечной плазмы используются периодические системы. Такие системы с необходимостью являются нейтральными по заряду:

Поскольку это соотношение выполняется для областей плазмы с размером, большим нескольких дебаевских длин, и расположенных вдалеке от стенок, периодические системы широко используются. Разница в граничных условиях для одно-, двух- и трехмерных периодических систем невелика, и в дальнейшем необходимо остановиться лишь на рассуждениях, связанных с

В ограниченной системе заряды и потенциалы или поля заданы на всех границах. Эти системы не обязаны быть нейтральными. Если система представляет собой заземленный прямоугольный ящик, то она похожа на одномерную систему с заземленными границами при [т. е. с которой легко справиться, используя либо синус-ряды Фурье, либо конечные разности; обобщение на двух- и трехмерный случаи очевидно.

Открытая граница применяется для описания поверхности раздела между плазменной областью, описываемой уравнением Пуассона и вакуумом, где выполняется уравнение Лапласа На такой границе потенциалы должны подбираться. Пусть, например, в плазма расположена при а при будет вакуум, где Однако для той же открытой границы в при условии периодичности по у решение уравнения Лапласа имеет вид что указывает на затухание при удалении от при член с дает то же решение, что в

Возможны смешанные граничные условия, сочетающие периодические, закрепленные и открытые условия, для них комбинируются приемы, приведенные в этой главе.

Итак, мы видим, что существуют определенные различия между одномерными и двух- и трехмерными моделями. В настоящей главе рассмотрены некоторые новые аспекты.