15.11. ОТКРЫТЫЕ ГРАНИЦЫ

Коды, применяемые для изучения взаимодействия лазерного излучения с плазмой, периодичны по у и в некотором смысле открыты справа и слева (рис. 15.7). Хочется осветить плазму с одной стороны и позволить рассеянному свету выйти из плазмы с другой стороны. Ниже обсуждаются способы выбора полей в вакууме и некоторые процедуры, связанные с достигающими границы плазмы частицами.

Продольное поле. Нам хотелось бы получить потенциальное решение для и для поправки в системе, в которой сетка продолжена направо и налево до бесконечности и вне моделируемой области нет пространственного заряда. Эта процедура описана в § 14.8 [Buneman, 1973].

Поглощение уходящих электромагнитных волн в диссипативной области. Во избежание отражения света от границ и возвращения его в плазму по сторонам плазмы обычно размещают диссипативные области. Наиболее очевидный способ достичь этого — ввести в закон Максвелла — Ампера резистивный ток. Недостаток этого подхода заключается в том, что во избежание проникновения и отражения наиболее длинноволнового света резистивная область должна быть достаточно толстой.

Процедуру можно немного улучшить, введя в закон Фарадея магнитный ток:

где Это соответствует потоку магнитных монополей. Эквивалентный подход состоит в умножении В на некоторый меньший единицы множитель [Boris, 1972]. Если от равно электрической проводимости, то падающая нормально волна не отражается, даже если на малом расстоянии проводимость велика. Тем не менее при наклонном падении это уже не так, а как мы увидим ниже, для нормального падения существует более тривиальный способ.

У Бориса [Boris, 1972] есть интересный способ сделать электрическую проводимость чисто поперечной, т. е. ток не

откликается на продольную часть поля и не создает разделения зарядов. Смысл этого в том, что электростатическая активность плазмы не подавляется резистивными токами, индуцированными выходящими из плазмы полями. Метод оказывается эквивалентным добавлению замкнутого тока вокруг каждой ячейки, который пропорционален в этой ячейке.

Иными словами, добавляется ток намагничивания

дивергенция которого равна нулю и который не зависит от

Плохо то, что диссипативная область занимает значительную часть памяти. Для того чтобы в некоторой области частот и углов падения получить хорошее поглощение, а не отражение, область должна быть толщиной порядка максимальной длины волны. Таджима и Ли [Tajima, Lee, 1981] попытались оптимизировать работу с подобными областями. Их метод приспособлен для границ нерегулярной формы.

Простое замыкание уравнений Максвелла на открытых границах. В ZOHAR и в некоторых других кодах выбрано простое граничное условие, которое решает проблему замыкания разностных уравнений Максвелла на открытой границе. В некоторых приложениях оно хорошо работает и, кроме того, иллюстрирует некоторые особешюсти более сложных граничных условий, рассматриваемых ниже.

Говоря о замыкании, мы имеем в виду следующее: рассмотрим левую границу и предположим, что при поля должны вычисляться при помощи уравнений Максвелла. Когда дело доходит до вычисления необходимо знать и Для того чтобы набор уравнений был замкнут, нужно какое-либо дополнительное условие для определения этой величины.

Для плоской волны, падающей в направлении — х, имеем Необходимое добавочное условие определяет среднее по времени поле и пространственное среднее

Отсюда следует найти учитывая, что

куда входят те же величины. Полученное таким образом значение записывается в нужном столбце массива При помощи закона Фарадея вычисляются внутренние значения в момент времени Затем используется закон Ампера — Максвелла для вычисления при Этот алгоритм, принадлежащий Синцу [Sinz, 1973], работает в одномерном случае и в этом виде использовался в коде OREMP [Estabrook].

Та же идея, но без усреднения по времени, используется в конце интегрирования полевых уравнений:

Итак, при помощи усреднения определяются все поля при

Для исследования погрешностей, возникающих при наклонном падении и при усреднении, рассмотрим отражение падающей на границу плоской волны. Пусть

при исключим при помощи (15.44), выразим через и запишем следующее отношение:

При малых углах и наибольшую погрешность дает усреднение

На практике эта величина достигает примерно 0,5%.

Если угол падения 9 не слишком мал, то наибольшая погрешность возникает вследствие того, что

При угле 45° погрешность составляет 17° или 3% по энергии. Для многих приложений это вполне приемлемо.

Если нас интересует какое-либо одно значение угла падения, то (15.44) и (15.46) можно модифицировать в соответствии с этим значением.

Во всем этом пока есть один недостаток — мы предположили, что поле поперечно. Пусть вблизи границы помещен точечный заряд. Тогда для стационарных полей всюду, а на границе, что соответствует электростатическому полю заряда вблизи проводящей границы. Тем самым точечный заряд притягивается к границе, что в некоторых случаях может вызвать очень большие трудности. Коррекция на это не влияет. Лечение заключается в вычитании в (15.44) и (15.46) из Тогда стационарные поля совпадают с полученными при решении уравнения Пуассона с открытыми граничными условиями и не возникают действующие на заряд силы.

Оказалось, что эти граничные условия почти эквивалентны использованным в ранней версии лос-аламосского кода WAVE [Nielson, Lindman, 1973]. Разница заключается в том, что в WAVE для уравнения Пуассона на границе используются условия или Таким образом, изображение или притягивает, или, наоборот, отталкивает заряд.

При изучении взаимодействия лазерного излучения с плазмой требуется, чтобы волна вида распространялась, скажем, слева. Для этого проще всего добавить в правые части (15.44) и (15.46) величину вычисленную в подходящие моменты времени. Поля падающих и уходящих волн явно удовлетворяют модифицированным уравнениям. Эта процедура обобщается на случай более сложных падающих волновых образований гораздо легче, чем обычный антенный метод для слоя с током.

Благодаря похожему пространственному размещению граничные условия для полей вполне аналогичны.

Отметим, наконец, что указанные условия не приводят к изменению В на границе. Для того чтобы убедиться в этом, используем граничные условия для определения только на границе. Тогда изменение по времени полей всюду определяется разностными уравнениями Максвелла и по-прежнему применимы сделанные в § 15.6 замечания по поводу сохранения

Граничные условия для волн, падающих под (почти) произвольным углом. Во многих задачах плазма рассеивает свет на различные углы; кроме того, падающий свет не обязательно представляет собой плоскую волну. В таких случаях простое граничное условие, описанное выше, применять нельзя. Ниже приведены граничные условия, применяемые в ZOHAR при встрече с подобными проблемами.

Линдман [Lindman, 1975] представляет волну, выходящую из системы, в виде суперпозиции плоских волн. Для каждой плоской волны выполняется соотношение

где или -компонента вектор-потенциала в коде и Для определения используется условие кулоновской калибровки Затем Линдман рассматривав! С как линейный оператор, зависящий от действие которого на границе можно определить без экстраполяции. Он нашел устойчивую и точную форму этого оператора в виде разложения на элементарные дроби. Валео [Valeo, 1973] разработал подход, применяемый непосредственно к полям, и именно этот обсуждаемый ниже подход используется в ZOHAR. Для учета падающего света запишем

где соответствует падающей волне при и

В терминах компьютерного кода это означает, что

где решение уравнения

Так же, как и выше, в этих соотношениях следует вычесть из величину и для того чтобы достичь второго порядка точности в (15.55), следует осуществить временное и пространственное усреднение. Единственное различие между (15.55) и (15.44) заключается в членах с они известны в тех же точках и временах, что и и тем самым граничные условия оказываются усредненными по времени.

Рассматривая еще раз отражение падающей на границу плоской волны, находим

Если пренебречь погрешностями, связанными с введением конечных разностей, то

В стационарном состоянии коэффициент отражения равен половине относительной погрешности разложения Это следует помнить при выборе коэффициентов

Полезную для диагностики информацию можно извлечь из соотношения куда входят только поля рассеянных волн.

Коэффициенты Линдмана для трех членов разложения равны .

Объем вычислений и затраты памяти при использовании такого небольшого числа членов разложения намного меньше, чем при работе с диссипативной областью. Поскольку коэффициенты соотношение (15.56) не приводит к ухудшению устойчивости и не требует уменьшения шага по времени, диктуемого уравнениями Максвелла.

Линдман также рассмотрел трудности, связанные с нестационарным откликом граничных условий. При слишком быстром включении падающей волны на установление стационарного состояния полей уходит много времени. Если угол падения 9 близок к 90°, то может оказаться, что «слишком быстро» — это неприемлемо долго. Он получил более сложное разложение, улучшающее нестационарный отклик. Эксперименты с ZOHAR, в которых используются отличные от (15.52) линейные комбинации, также указали на плохой нестационарной отклик. С этой точки зрения соотношение (15.52) выглядит весьма удовлетворительно. Причины различий в нестационарном отклике не вполне поняты. Как отмечено в работе [Lindman, 1975], нестационарное поведение в значительной степени определяется тем, что возмущения содержат компоненты Фурье с Эти гармоники не уходят от границы, а разложение И 5.53) не может аппроксимировать аналитическое продолжение в область Новейшее разложение Линдмана отличается тем, что оно аппроксимирует и аналитическое продолжение.

Мы сталкивались еще с одной проблемой, вызванной характером разложения при со Поля оказываются неустойчивыми, если недалеко от границы и параллельно ей расположен скачок плотности. На скачке удерживается поверхностная волна с . В этой области для некоторого диапазона частот разложение С отрицательно. Таким образом, направление вектора Пойнтинга меняется на обратное и энергия втекает в систему, раскачивая поверхностную волну. Это не создавало никаких осложнений до тех пор, пока расстояние от скачка плотности до границы не уменьшалось, например, до Возможно, новейшее разложение Линдмана могло бы решить эту проблему. Для подавления неустойчивости необходимо, чтобы разложение оставалось положительным.

Граничные условия для частиц. Граничные условия для частиц при электростатическом и электромагнитном моделировании в основном схожи, они обсуждаются в гл. 16.