8.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН; НАЛОЖЕНИЕ ЧАСТОТ, ВОЗНИКАЮЩЕЕ ИЗ-ЗА КОНЕЧНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

Как мы уже хорошо знаем, удобно работать в -пространстве, подвергая заряд, потенциал, поле и силу преобразованию Фурье. Для лучшего понимания повторим некоторые определения и предыдущие шаги. Для преобразование имеет вид (все аналогично для

В случае бесконечной системы интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна:

для конечной же системы а длина При использовании этих определений обычная конечно-разностная форма уравнения Пуассона в рационализованной системе единиц Хевисайда-Лоренца СГС [Panofsky and Phillips, 1962; Jackson, 1975] записывается так:

откуда получаем

где

Мы ввели дифракционную функцию

аналогичную функции использованной другими авторами. Конечно-разностное выражение для градиента имеет вид

из которого следует

где

Для силы, определенной соотношением

с использованием формулы (8.23) имеем

Меняя местами суммирование и интеграл, получаем

Так как не зависит от у, то (8.45) преобразуется к простому виду

Теперь сеточные величины имеют базовый период а поэтому преобразования Фурье сеточных величин периодичны, т. е.

Таким образом, из (8.46) видим, что при больших или связь зависит от характера убывания при Вот почему гладкость зависит от гладкости и непрерывности В случае плотности заряда мы определим сначала плотность облака (см. § 4.6):

где плотность центров облаков, так что

откуда ясно видно фильтрующее действие формфактора. Сеточная плотность заряда определяемая соотношением (8.22), имеет вид

или

при переходе от интегрирования по всем к к интегрированию по одному периоду и суммированию по всем пространственным гармоникам. Член в квадратных скобках обозначим

Именно здесь проявляется связь частот через сетку. Об этой бесконечной сумме можно рассуждать так: берем информацию, определенную на континууме и пытаемся сжать континуум в дискретную сетку. Появляющаяся здесь трудность состоит в. том, что различные длины волн частиц фигурируют в одних и тех же точках сетки (наложение частот).

Такое явление хорошо известно в анализе временных рядов. Если не делать выборку достаточно часто, то разные частоты становятся неразличимыми. Положение можно улучшить путем низкочастотной фильтрации сигнала перед выборкой, что и делается в рассматриваемом случае путем сглаживания В вычислительных моделях эффекты выборки в системе подвергаются действию обратной связи. Даже синусоидальное возмущение плотности создает силы на многих длинах волн, которые вызывают возмущение плотности на новых длинах волн, и все эти возмущения действуют обратно на первоначальные возмущения. Основным моментом здесь является то, что возмущения плотности с (вне основной зоны Бриллюэна) дают вклад в при Как и в случае с силой, все зависит от быстроты убывания при больших k. Причина обратной связи состоит в том, что значения к, отличающиеся множителем к дают одинаковый вклад в точках сетки

Мы уже отметили, что -сеточные величины периодичны, так что и их можно представить в виде суммы по Однако нормальные моды для сеточных величин не синусоидальны из-за связи частот. Ситуация больше похожа на атомы в кристалле, а не на распространение волны в непрерывном пространстве, имеющем периодическую неоднородность.

Там, где мы используем быстрое преобразование Фурье для вычисления поля, можно выбрать произвольно в пределах основного периода в -пространстве для наилучшего описания желаемых физических эффектов, даже если эти величины не имеют никакого соответствия с конечно-разностными соотношениями, использующими малое число точек сетки (см. приложение Д). Например, можно получить большее сглаживание путем отбрасывания части волновых векторов по некоторому сглаживающему алгоритму (см. приложение Это существенно проще с вычислительной точки зрения, чем использование усложненных методов интерполяции частиц по сетке с использованием многоточечных схем. По крайней мере, в одномерном случае наиболее экономичный способ получить очень гладкое взаимодействие без сеточных эффектов состоит в использовании очень частой сетки, взвешивании низкого порядка и применении описанного выше сглаживания в пространстве волновых векторов. Заметим, что в модели более точно соответствует величине чем в случае бессеточной системы облаков. К сожалению, метод NGP даже в случае частой сетки дает больший самонагрев, чем взвешивание более высокого порядка, больше, чем можно допустить.

Задачи

(см. скан)