14.9. ТОЧНОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА ГРАДИЕНТА

Поскольку получается из в случае двух измерений находится при помощи (14.4), (14.5). Компоненты и сначала записываются при помощи обычной двухточечной разностной формы (14.5), где расположение изображено на рис. 14.3. Погрешность равна Двухточечный конечно-разностный оператор градиента для двухмерной периодической системы можно с помощью рядов Фурье представить в виде

Здесь погрешность стоит исследовать как по величине, так и по углу — это может оказаться более существенным, чем погрешности, обнаруженные для разностного уравнения Пуассона. Мы начнем с двухточечной формы, а затем введем предложенные в работе [Boris, 1970а] четырех- и шеститочечные формы, которые также исследовались Ленгдоном в 1970 г.

Приведенная выше двухточечная разностная форма дает

Погрешность находится из выражения

При или погрешность составляет 0,17. В одномерном случае эту погрешность в величине можно

Рис. 14.14. Погрешность направления для двухточечного оператора градиента; контуры равны 0; 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3. Контуры следует отразить относительно линии

Рис. 14.15. Сетка, используемая для шеститочечной разностной схемы в Величина вычисляется по 6 точкам Для используются точки Таким образом, для вычисления нужно 8 точек

скомпенсировать просто, умножая каждое на поскольку по-разному зависят от к, в двух- и трехмерном случаях столь простая компенсация невозможна — дающее точное скорректированное значение приведет к погрешности в Изменение влияет только на величину кроме того, возникает изображенная на рис. 14.14 погрешность направления, которая определяется синусом угла между

При (это значит, ошибка направления составляет 0,3 рад, или 17,5°, что довольно много), и при При малых

В трехмерной кубической решетке при меньше максимальная двухточечная погрешность направления составляет 0,07 рад, или относительная погрешность равна 7%.

Теперь перейдем к шеститочечной разностной схеме (в двух измерениях) и десятиточечной (в трех измерениях). Можно получить гораздо большую точность, не сдвигая потенциал на полшага сетки. При переходе к шеститочечной формуле (в двух измерениях) после учета всех требований симметрии остается свобода в выборе одного параметра. Этот параметр можно выбрать так, чтобы пропал квадратичный член в выражении для погрешности направления. В результате разностная схема, использующая двухмерную сетку на рис. 14.15, имеет вид

Коэффициенты (1/2, 2, 1/2) не зависят от Используя значок определяемый из соотношения

в двухмерном случае получаем

или в представлении Фурье

При малых и это означает, что

(очень хорошо, что здесь нет анизотропии с точностью до 45). Погрешность направления равна

что изображено на рис. 14.16; при При малых и

Это значительное уменьшение по сравнению с двухточечной и четырехточечной схемами. Наибольшая погрешность в области при составляет теперь около 0,002 рад — примерно в 25 раз меньше, чем На больших

длинах волн преимущество гораздо больше из-за зависимости вида

Рис. 14.16. Контуры погрешности направления для шеститочечной разности в

Шеститочечную формулу можно, разумеется, использовать при любом способе решения уравнения Пуассона — погрешность направления по-прежнему уменьшится. Так, из-за квадратичной зависимости от Эх, использование пятиточечного алгоритма для уравнения Пуассона и шеститочечной разностной формулы для ускорения эквивалентно решению задачи с модифицированным профилем заряда, и примерно ту же относительную точность можно получить, используя исходный профиль заряда и БПФ для уравнения Пуассона.

Напомним, что до тех пор, пока не доказана возможность уменьшения относительных погрешностей, возникающих в других местах, нет смысла добиваться большей точности и на этом шаге.

В трех измерениях используются 10 точек, где 4 дополнительные расположены в плоскости -компонента равна

Из преобразования Фурье находим

Для кубической решетки максимальная погрешность направления при всех меньше и составляет 0,0075 рад.

Задача

(см. скан)

(см. скан)