9.8. ДРУГИЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ НЕЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ

Альтернативами методу интегрирования с перешагиванием могут, например, быть неявные схемы и схемы с подавлением. В рассматриваемом параграфе мы увидим, как получить свойства схемы интегрирования простым и надежным способом.

Обобщение вывода, сделанного при получении формулы (9.14), приводит к выражению для вида

где означает отношение амплитуд Фурье-гармоник Это выражение сохраняет большую общность и для изотропных схем, в которых при величина остается постоянной, т. е. невозмущенные траектории не затухают, и его легко использовать.

Другой часто используемый подход основан на конечноразностном аналоге уравнения Власова [Lindman, 1970; Godfrey, 1974; Носкпеу and Eastwood, 1981]. Исходя из свойства сохранения фазового объема в уравнениях движения [они преобразуют объем в фазовом пространстве в равный объем в другой момент времени] уравнение Власова постулирует, что плотность фазового объема постоянна вдоль любой траектории частицы. В применении к интегрированию с

конечным которое преобразует это означает, что Если скорость определена на полуцелых шагах, как в методе с перешагиванием, то можно определить и значение [Hockney and Eastwood, 1981]. Можно также определить в момент как плотность от и использовать равенство задачу 9.21).

Этот метод, однако, непригоден, если он применяется в сформулированном выше виде к другим уравнениям движения, которые не сохраняют фазовый объем (см. задачу 9.22), таким как описанная ниже в этом параграфе схема с затуханием. Например, ясно, что при затухающих колебаниях в потенциальной яме фазовый объем уменьшается и возрастает. Хотя и можно устранить это обстоятельство (см. задачу 9.23), намного проще использовать соотношение (9.60).

Далее в настоящем параграфе рассмотрены два класса схем интегрирования по времени с ошибкой такого же или высшего порядка по что и метод с перешагиванием. Обсуждены неявные схемы, которые сконструированы и анализируются с использованием методов этой главы.

Алгоритмы класса С. Рассмотрим теперь класс алгоритмов, в которых изменение импульса отличается от метода с перешагиванием только учетом несколько шагов по времени, вспоминая рассуждения, сделанные при выводе соотношения

Предполагая экспоненциальную зависимость от времени получаем

Здесь опять последний член такой же, как и в методе с перешагиванием, который, следовательно, является просто частным случаем с и Соответствующее разностное уравнение можно записать в форме

Очевидно, что невозмущенное движение при будет прямолинейным. Уравнение имеет порядок к, так как в него включены шагов по времени, и оказывается неявным, если не равно нулю.

Диэлектрическая проницаемость горячей плазмы, полученная подстановкой в (9.60), имеет вид

где значение, используемое в методе с перешагиванием. Вывод рассмотрен в § 9.2 и в работе [Langdon, 19796], а новые члены легко выражаются через преобразование скоростей Уравнение (9.64) можно использовать для проверки коллективного отклика при моделировании с помощью неявной схемы интегрирования по времени (см. задачу 9.24).

В случае больших длин волн частицы испытывают простые гармонические колебания с плазменной частотой. Для осциллятора с частотой существует два корня уравнения (9.62), соответствующих частотам вблизи и сильно затухающих корней при малых Как будет показано ниже, два корня вблизи частот имеют ошибку в их реальной части второго или более высокого порядка по и ошибку в мнимой части третьего или более высокого порядка по

Для анализа гармонического осциллятора подставим в уравнение (9.62). Из вида (9.62) при малых видно, что имеется к —2 корня вблизи (сильное затухание) и два вблизи соответствующих колебаниям. В задаче 9.25 показано, что

Таким образом, этот класс имеет ошибку второго порядка в но более сильно затухающая ошибка в имеет третий порядок, как утверждалось выше. Для алгоритма с перешагиванием имеем как в соотношениях (4.9) и (9.14); фактически является действительным для всех порядков в этой обратимой во времени схеме второго порядка точности.

Пример [Feix, 1969]. Схемы (9.31) и (9.32) можно обосновать как разложение в. ряд Тейлора в момент с разностью первого порядка для оценки Диэлектрическая проницаемость уже была приведена в соотношении (9.34). Подставляя в него и исключая V, получаем

Сравнивая с соотношениями (9.62), (9.65) и (9.66), находим, что Таким образом, имеем

Погрешность в определении периода колебаний в 7 раз больше, чем в методе с перешагиванием. Кроме того, имеется слабая неустойчивость. Следует заметить, что свойства сохранения фазового объема алгоритма с перешагиванием в этой схеме потеряны, даже если бы она могла быть описана в фазовом пространстве только в координатах Другим недостатком является необходимость сохранения предшествующих значений ускорений наряду с Однако для параметров, использованных в работе [Feix, 1969], обычно нарастание слабое и, вероятно, оно подавлялось столкновительным затуханием. Может также оказаться преимуществом и то, что заданы в одни и те же моменты.

Пример. Другая схема, обладающая этнм преимуществом, имеет вид

Скорость здесь вычисляется точно так же, как и в первом примере, а координата вычисляется по формуле трапеций. При этом получаем отношение

откуда и

Эта схема точнее предыдущей, но менее точна, чем метод с перешагиванием.

Приведем пример алгоритма синтеза (в качестве. противоположности анализу), в котором устраним ошибку метода с перешагиванием. Если использовать неявную схему, следует просто положить тогда полученную центрированную во времени схему довольно успешно можно использовать в других случаях. Вместо этого мы сохраним неявность как плату

за введение затухания Из равенств (9.65) и (9.66) получаем значения Отсюда следует, что

и

Это соотношение представим в виде

и тем самым введем явно скорость. Теперь разностную схему можно записать в виде, удобном для отождествления степеней с уровнями времени соответствует

Здесь все аналогично методу с перешагиванием, за исключением члена, пропорционального который корректирует Затухание, возникающее вследствие центрирования по времени, из-за этого члена теряется. Схема кажется более предпочтительной по сравнению с двумя предыдущими, если есть намерение сохранять а для использования на следующем шаге по времени. Задавая четвертый порядок точности , можно устранить используя выражения для точности (9.65) и (9.66).

Алгоритмы класса D. Читатель может поинтересоваться, все ли алгоритмы с точностью, соответствующей схемам класса С, описываются формулами (9.61) и (9.62). Возможным является вариант

которому в формуле (9.62) соответствуют Разность между и результатом метода с перешагиванием дается рекурсивным фильтром, Импульсный отклик в этой схеме затухает, но не исчезает через несколько шагов. Пример, даваемый формулой (9.84), является первым членом класса, названного в работе [Cohen, Langdon and Friedman, 1982] как «неявные схемы» и описываемого формулой

где полином от Точность и устойчивость схемы определяются выбором коэффициентов задачу 9.27). Разностные уравнения можно записать таким образом:

где имеет место интегрирование с перешагиванием, использующее рекурсивно отфильтрованные ускорения (см. задачу 9.29).

Задачи

(см. скан)

(см. скан)